📘 analyse

1. **Énoncé du problème :** On étudie la suite $(U_n)$ définie par $U_0 = \frac{1}{3}$ et $U_{n+1} = \frac{2 U_n}{U_n + 1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = x + 1 - \sqrt{x^2 - x - 2}$ définie sur un domaine $D_f$.

1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite $$\lim_{x \to -5^-} (x^2 - 25)$$. 2. **Formule et règles importantes :** La fonction est un polynôme, donc continue partout. La limit

1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite de la fonction $f(x) = x^2 - 25$ lorsque $x$ tend vers $-5$ par la gauche (c'est-à-dire $x \to -5^-$). 2. **Rappel important :** Pour

1. Énonçons le problème : Trouver le domaine de définition de la fonction $f(x) = \ln(g(x))$. 2. Rappel important : La fonction logarithme naturel $\ln(x)$ est définie uniquement p

1. **Énoncé du problème** : On cherche à déterminer la dérivée de la fonction $f(x) = \ln(g(x))$ où $g(x)$ est une fonction dont le tableau de variation est donné. 2. **Formule uti

1. **Énoncé du problème :** Montrer que si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est périodique et non constante, alors elle n'admet pas de limite en $+\infty$. 2. **Formule et règles im

1. **Énoncé du problème :** Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{2x} - e^x$. Nous devons calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$, puis en déduire une asym

1. **Énoncé du problème :** Nous devons déterminer les réels $a < \frac{\pi}{2}$ tels que la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $a$ soit perpendiculaire à la droite $D$

1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x + 1}$$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour les limites à l'infini impliquant des racin

1. **Énoncé du problème :** Montrer que la fonction $\varphi$ est $n$ fois dérivable sur $]0; +\infty[$ et que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = x + \sqrt{x^2 - x}$. 2. **Domaine de définition :**

1. Énonçons le problème : Trouver une autre méthode pour calculer la limite en plus l'infini d'une fonction donnée. 2. Rappelons que pour calculer une limite à l'infini, on peut ut

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = x + 2 - 2\sqrt{x - 1}$$ sur son domaine de définition. 2. **Détermination du domaine $D_f$ :**

1. Énonçons le problème : Trouver une autre méthode pour calculer la limite d'une fonction quand $x$ tend vers $+\infty$. 2. Une méthode classique est d'utiliser la division par la

1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $$f(x) = x + 2 - 2\sqrt{x - 1}$$ définie sur un intervalle à déterminer. Nous allons étudier son domaine, ses limites, sa dériv

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = \sqrt{x} - 1$ et ses propriétés sur différents intervalles. 2. **Domaine de définition $D_f$ :**

1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $$h$$ définie sur $$[0; +\infty[$$ par $$h(x) = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{3}{4}x^2$$ pour $$x > 0$$ et $$h(0) = 0$$.

1. **Énoncé du problème :** Trouver pour quelles valeurs de $\alpha$ l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $\left]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right[$.

1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par :

1. **Énoncé du problème :** Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $I=[1;2]$ par $f(x)=\frac{5x-1}{x+3}$, montrer que $f(I) \subset I$, et étudier la suite $(u_n)$ d