1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $$f(x) = x + 2 - 2\sqrt{x - 1}$$ définie sur un intervalle à déterminer. Nous allons étudier son domaine, ses limites, sa dérivabilité, ses variations, la position de sa courbe par rapport à la droite $$y = x$$, et la tangente en un point donné. 2. **Détermination du domaine de définition $$D_f$$ :** La fonction contient une racine carrée $$\sqrt{x-1}$$, donc l'expression sous la racine doit être positive ou nulle : $$x - 1 \geq 0 \implies x \geq 1$$ Ainsi, $$D_f = [1, +\infty[ $$. 3. **Limites :** **a)** Limite en $$+\infty$$ : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x + 2 - 2\sqrt{x-1}\right)$$ Pour $$x$$ grand, $$\sqrt{x-1} \sim \sqrt{x}$$, donc $$f(x) \sim x + 2 - 2\sqrt{x}$$ Comme $$x$$ croît plus vite que $$\sqrt{x}$$, la limite est $$+\infty$$. **b)** Limite de $$\frac{f(x)}{x}$$ en $$1^+$$ : $$\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x + 2 - 2\sqrt{x-1}}{x}$$ Quand $$x \to 1^+$$, $$\sqrt{x-1} \to 0$$, donc $$\frac{f(x)}{x} \to \frac{1 + 2 - 0}{1} = 3$$ Mais l'énoncé demande de montrer que cette limite vaut 1, il faut vérifier l'énoncé ou la limite demandée. Peut-être une erreur dans l'énoncé ou une autre limite. **Correction :** En fait, la limite demandée est $$\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)}{x}$$ Calculons précisément : $$f(x) = x + 2 - 2\sqrt{x-1}$$ Pour $$x \to 1^+$$, $$\sqrt{x-1} \to 0$$, donc $$f(x) \to 1 + 2 - 0 = 3$$ Donc $$\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)}{x} = \frac{3}{1} = 3$$ Donc la limite est 3, pas 1. Il y a peut-être une erreur dans l'énoncé. **c)** Limite de $$f(x) - x$$ en $$+\infty$$ : $$f(x) - x = (x + 2 - 2\sqrt{x-1}) - x = 2 - 2\sqrt{x-1}$$ Quand $$x \to +\infty$$, $$\sqrt{x-1} \to +\infty$$, donc $$f(x) - x \to 2 - +\infty = -\infty$$. 4. **Branches infinies :** La fonction tend vers $$+\infty$$ quand $$x \to +\infty$$, mais la différence $$f(x) - x$$ tend vers $$-\infty$$, donc la courbe s'éloigne de la droite $$y = x$$ vers le bas à l'infini. 5. **Dérivabilité en 1 à droite :** Calculons la dérivée à droite en 1 : $$f'(x) = 1 - 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x-1}}$$ La dérivée à droite en 1 est $$\lim_{x \to 1^+} f'(x) = 1 - \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x-1}} = 1 - +\infty = -\infty$$ Donc la dérivée n'existe pas finie à droite en 1. Graphiquement, cela signifie un point anguleux ou une tangente verticale à $$x=1$$. 6. **Formule de la dérivée donnée :** Montrons que $$f'(x) = \frac{\sqrt{x-1} - 1}{\sqrt{x-1}}$$ En partant de $$f(x) = x + 2 - 2\sqrt{x-1}$$ On a $$f'(x) = 1 - 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x-1} - 1}{\sqrt{x-1}}$$ 7. **Variations de $$f$$ :** Le signe de $$f'(x)$$ dépend de $$\sqrt{x-1} - 1$$ : - Si $$\sqrt{x-1} < 1 \iff x < 2$$, alors $$f'(x) < 0$$ - Si $$\sqrt{x-1} > 1 \iff x > 2$$, alors $$f'(x) > 0$$ Donc $$f$$ décroît sur $$]1, 2[$ et croît sur $$]2, +\infty[$. 8. **Expression de $$f(x) - x$$ :** Montrons que $$f(x) - x = 2(1 - \sqrt{x-1})$$ En effet, $$f(x) - x = x + 2 - 2\sqrt{x-1} - x = 2 - 2\sqrt{x-1} = 2(1 - \sqrt{x-1})$$ 9. **Position relative de $$f$$ et de la droite $$y = x$$ :** - Si $$f(x) - x > 0 \iff 1 - \sqrt{x-1} > 0 \iff \sqrt{x-1} < 1 \iff x < 2$$, alors $$f(x) > x$$ - Si $$x > 2$$, alors $$f(x) < x$$ La courbe est au-dessus de la droite $$y = x$$ pour $$x \in ]1, 2[$ et en dessous pour $$x > 2$$. 10. **Équation de la tangente en $$x=2$$ :** Calculons $$f(2)$$ : $$f(2) = 2 + 2 - 2\sqrt{2-1} = 4 - 2 = 2$$ Calculons $$f'(2)$$ : $$f'(2) = \frac{\sqrt{2-1} - 1}{\sqrt{2-1}} = \frac{1 - 1}{1} = 0$$ L'équation de la tangente est donc $$y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 0 \times (x - 2) + 2 = 2$$ C'est une droite horizontale : $$y = 2$$. --- **Réponse finale :** - $$D_f = [1, +\infty[ $$ - $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ - $$\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)}{x} = 3$$ (vérifier l'énoncé) - $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = -\infty$$ - $$f$$ décroît sur $$]1, 2[$, croît sur $$]2, +\infty[$ - La courbe est au-dessus de $$y = x$$ sur $$]1, 2[$, en dessous sur $$]2, +\infty[$ - Tangente en $$x=2$$ : $$y = 2$$