1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = x + 1 - \sqrt{x^2 - x - 2}$ définie sur un domaine $D_f$. 2. **Détermination du domaine $D_f$ :** La racine carrée impose que l'expression sous le radical soit positive ou nulle : $$x^2 - x - 2 \geq 0$$ Factorisons : $$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$$ Le produit est positif si $x \leq -1$ ou $x \geq 2$. Donc : $$D_f = (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$$ 3. **Calcul des limites :** - Pour $x \to -\infty$ : $$f(x) = x + 1 - \sqrt{x^2 - x - 2}$$ On factorise sous la racine : $$\sqrt{x^2 - x - 2} = |x| \sqrt{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}$$ Pour $x \to -\infty$, $|x| = -x$, donc $$f(x) = x + 1 - (-x)\sqrt{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} = x + 1 + x\sqrt{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}$$ Quand $x \to -\infty$, $\sqrt{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} \to 1$, donc $$f(x) \sim x + 1 + x = 2x + 1 \to -\infty$$ - Pour $x \to +\infty$ : Ici $|x| = x$, donc $$f(x) = x + 1 - x\sqrt{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}$$ Développons la racine par développement limité : $$\sqrt{1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} \approx 1 - \frac{1}{2x} - \frac{3}{8x^2}$$ Donc $$f(x) \approx x + 1 - x\left(1 - \frac{1}{2x} - \frac{3}{8x^2}\right) = x + 1 - x + \frac{1}{2} + \frac{3}{8x} = \frac{3}{2} + \frac{3}{8x}$$ Quand $x \to +\infty$, $f(x) \to \frac{3}{2}$. 4. **Continuité de $f$ sur $D_f$ :** La fonction est composée de fonctions continues sur $D_f$ (polynôme et racine carrée sur son domaine). Donc $f$ est continue sur $D_f$. 5. **Dérivabilité à droite de $x_0=2$ et à gauche de $x_0=1$ :** - En $x=2$, $2 \in D_f$, calculons la dérivée à droite : $$f'(x) = 1 - \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x - 2}}$$ Pour $x \to 2^+$, le dénominateur est non nul, donc $f$ est dérivable à droite de 2. - En $x=1$, $1 \notin D_f$ (car $1 \notin (-\infty,-1] \cup [2,+\infty)$), donc $f$ n'est pas définie à gauche de 1, donc pas dérivable à gauche de 1. **Interprétation graphique :** La courbe n'existe pas entre $-1$ et $2$, donc pas de continuité ni dérivabilité dans cet intervalle. 6. **Branche infinie au voisinage de $+\infty$ :** On a vu que $$f(x) \approx \frac{3}{2} + \frac{3}{8x}$$ Donc la courbe tend vers la droite horizontale $y = \frac{3}{2}$ quand $x \to +\infty$. 7. **Asymptote oblique au voisinage de $-\infty$ :** La droite $(\Delta)$ est donnée par $$y = 2x + \frac{1}{2}$$ On calcule $$\lim_{x \to -\infty} \left(f(x) - (2x + \frac{1}{2})\right)$$ On a $$f(x) - (2x + \frac{1}{2}) = x + 1 - \sqrt{x^2 - x - 2} - 2x - \frac{1}{2} = -x + \frac{1}{2} - \sqrt{x^2 - x - 2}$$ Comme vu précédemment, $$\sqrt{x^2 - x - 2} \sim -x$$ Donc $$f(x) - (2x + \frac{1}{2}) \to 0$$ Ce qui montre que $(\Delta)$ est asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$. 8. **Position relative de $(C_f)$ et $(\Delta)$ :** Étudions le signe de $$f(x) - (2x + \frac{1}{2}) = x + 1 - \sqrt{x^2 - x - 2} - 2x - \frac{1}{2} = -x + \frac{1}{2} - \sqrt{x^2 - x - 2}$$ Pour $x \to -\infty$, $-x$ est positif très grand, $\sqrt{x^2 - x - 2} \sim -x$, donc la différence tend vers 0 par valeurs négatives (car $\sqrt{x^2 - x - 2} > -x$ pour $x$ très négatif). Donc la courbe est en dessous de la droite $(\Delta)$ pour $x$ proche de $-\infty$. --- **Réponse finale :** - $D_f = (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$ - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{3}{2}$ - $f$ est continue sur $D_f$ - $f$ est dérivable à droite de 2, non dérivable à gauche de 1 - Branche infinie horizontale $y = \frac{3}{2}$ au voisinage de $+\infty$ - $(\Delta): y = 2x + \frac{1}{2}$ est asymptote oblique au voisinage de $-\infty$ - La courbe est en dessous de $(\Delta)$ près de $-\infty$.