1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = x + \sqrt{x^2 - x}$. 2. **Domaine de définition :** La racine carrée impose $x^2 - x \geq 0$. Factorisons : $x(x-1) \geq 0$. Cela est vrai pour $x \leq 0$ ou $x \geq 1$. Donc, $\mathcal{D}_f = (-\infty,0] \cup [1,+\infty)$. 3. **Continuité et dérivabilité :** - $f$ est composée de fonctions continues sur $\mathcal{D}_f$, donc continue sur ce domaine. - Pour la dérivabilité, calculons $f'(x)$ sur $\mathcal{D}_f$. 4. **Calcul de la dérivée :** $$f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 - x}} \cdot (2x - 1) = 1 + \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x}}.$$ 5. **Étude du signe de $f'(x)$ :** - Pour $x \leq 0$, $x^2 - x > 0$, donc $f'(x)$ est défini. - Pour $x \geq 1$, idem. 6. **Variations de $f$ :** - Sur $(-\infty,0]$, étudions le signe de $f'(x)$. - Sur $[1,+\infty)$, idem. 7. **Asymptote oblique :** On cherche la limite de $f(x) - (2x - \frac{1}{2})$ quand $x \to +\infty$. Calculons : $$f(x) - (2x - \frac{1}{2}) = x + \sqrt{x^2 - x} - 2x + \frac{1}{2} = -x + \sqrt{x^2 - x} + \frac{1}{2}.$$ Factorisons $x$ dans la racine : $$\sqrt{x^2 - x} = |x| \sqrt{1 - \frac{1}{x}} = x \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$$ car $x \to +\infty$. Développons la racine par un développement limité : $$\sqrt{1 - \frac{1}{x}} \approx 1 - \frac{1}{2x}$$ Donc : $$\sqrt{x^2 - x} \approx x - \frac{1}{2}.$$ Ainsi : $$f(x) - (2x - \frac{1}{2}) \approx -x + x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0.$$ Donc la droite $y = 2x - \frac{1}{2}$ est asymptote oblique à $+\infty$. 8. **Autre branche infinie :** Pour $x \to -\infty$, on étudie $f(x)$ : $$f(x) = x + \sqrt{x^2 - x} = x + |x| \sqrt{1 - \frac{1}{x}} = x - x \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$$ car $x < 0$ donc $|x| = -x$. Développement limité : $$\sqrt{1 - \frac{1}{x}} \approx 1 - \frac{1}{2x}$$ Donc : $$f(x) \approx x - x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$ La fonction tend vers $\frac{1}{2}$ quand $x \to -\infty$. Donc la droite horizontale $y = \frac{1}{2}$ est une asymptote horizontale à $-\infty$. 9. **Points d'intersection avec les axes :** - Axe des ordonnées ($x=0$) : $f(0) = 0 + \sqrt{0 - 0} = 0$ donc point $(0,0)$. - Axe des abscisses ($y=0$) : Résolvons $f(x) = 0$ sur $\mathcal{D}_f$. $$x + \sqrt{x^2 - x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - x} = -x.$$ Sur $x \leq 0$, $-x \geq 0$, donc on peut élever au carré : $$x^2 - x = x^2 \Rightarrow -x = 0 \Rightarrow x=0.$$ Ce point est déjà trouvé. Sur $x \geq 1$, $-x \leq 0$, donc pas de solution. 10. **Résumé :** - Domaine : $(-\infty,0] \cup [1,+\infty)$. - $f$ est continue et dérivable sur ce domaine. - Asymptotes : $y=2x - \frac{1}{2}$ à $+\infty$, $y=\frac{1}{2}$ à $-\infty$. - Point d'intersection avec les axes : $(0,0)$.