1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f(x) = \sqrt{x} - 1$ et ses propriétés sur différents intervalles. 2. **Domaine de définition $D_f$ :** La fonction racine carrée $\sqrt{x}$ est définie pour $x \geq 0$. Cependant, $f(x) = \sqrt{x} - 1$ est définie partout où $\sqrt{x}$ est définie. On doit vérifier la continuité et les points où la fonction pourrait ne pas être définie. Ici, $f$ est définie pour $x \geq 0$ sauf en $x=1$ où la fonction est disjointe dans l'énoncé. Donc, $D_f = [0,1[ \cup ]1,+\infty[$. 3. **Calcul des limites en $x \to 1^+$ et $x \to 1^-$ :** - Limite à gauche : $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (\sqrt{x} - 1) = \sqrt{1} - 1 = 0$$ - Limite à droite : $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (\sqrt{x} - 1) = \sqrt{1} - 1 = 0$$ Graphiquement, la fonction tend vers 0 des deux côtés de 1, mais $x=1$ est exclu du domaine. 4. **Limites en $x \to +\infty$ :** - $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x} - 1) = +\infty$$ - $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x} - 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x} - \frac{1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} - 0 = 0$$ Graphiquement, $f(x)$ croît sans borne, mais $f(x)/x$ tend vers 0, indiquant que $f(x)$ croît plus lentement que $x$. 5. **Dérivabilité en 0 à droite :** - La dérivée à droite en 0 est $$f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h} - 1 - (0 - 1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h}}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = +\infty$$ Donc, $f$ est dérivable à droite en 0 avec une pente infinie, ce qui signifie un angle vertical sur le graphe. 6. **Vérification de l'expression :** $$f(x) - x = \frac{x(4 - x)(\sqrt{x} + 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 2)}$$ Cette expression montre la position relative de la courbe $C_f$ par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. 7. **Dérivée de $f$ sur $]0,1[ \cup ]1,+\infty[$ :** $$f'(x) = \frac{x - 4}{2(\sqrt{x} - 1)^2(\sqrt{x} + 2)}$$ Cette dérivée permet d'étudier les variations de $f$. 8. **Tableau de variations :** - Pour $x \in ]0,1[$, $f'(x)$ est négative ou positive selon le signe de $x-4$. - Pour $x > 1$, même analyse. 9. **Conclusion :** La fonction $f$ est définie sur $D_f = [0,1[ \cup ]1,+\infty[$, tend vers 0 en $x \to 1$ des deux côtés, croît vers $+\infty$ en $+\infty$, et a une dérivée infinie à droite en 0. **Réponse finale :** $$D_f = [0,1[ \cup ]1,+\infty[\quad ; \quad \lim_{x \to 1^-} f(x) = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \quad ; \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$$