1. **Énoncé du problème :** Nous avons deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : $$u_0=1, \quad u_{n+1}=f(u_n)$$ avec $f$ une fonction à préciser, et $$v_n=1-\frac{2}{\sqrt{u_n}}.$$ Nous devons : **2ème partie :** ① Montrer que $0 \leq u_n \leq 4$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. ② Étudier le sens de variation de $(u_n)$. ③ Montrer que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. **3ème partie :** ① Montrer que $(v_n)$ est géométrique et trouver sa raison. ② Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$. ③ Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$. **4ème exercice, 1ère partie :** Fonction $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par $$f(x) = (\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} - x.$$ ① a) Vérifier que $$f(x) = x \left( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} - 1 \right)$$ pour $x > 0$. b) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et étudier la branche infinie de la courbe $\mathcal{C}_f$. ② a) Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en 0 et interpréter. --- 2ème partie : 1. Montrons que $0 \leq u_n \leq 4$ par récurrence. - Initialisation : $u_0=1$ donc $0 \leq 1 \leq 4$. - Hypothèse : Supposons $0 \leq u_n \leq 4$. - Montrons que $0 \leq u_{n+1} = f(u_n) \leq 4$. La fonction $f$ doit être telle que $f([0,4]) \subset [0,4]$ (hypothèse implicite ou à vérifier selon $f$). 2. Pour le sens de variation, on étudie le signe de $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$. Si $f$ est croissante et $f(x) \leq 4$, on peut montrer que $(u_n)$ est monotone (croissante ou décroissante) selon la forme de $f$. 3. La suite $(u_n)$ est bornée et monotone donc convergente. Soit $\ell = \lim_{n \to +\infty} u_n$. En passant à la limite dans la relation de récurrence, $$\ell = f(\ell).$$ On résout cette équation pour trouver $\ell$. 3ème partie : 1. Montrons que $(v_n)$ est géométrique. Calculons $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ : $$v_n = 1 - \frac{2}{\sqrt{u_n}}, \quad v_{n+1} = 1 - \frac{2}{\sqrt{u_{n+1}}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{f(u_n)}}.$$ Si on peut écrire $v_{n+1} = r v_n$ avec $r$ constant, alors $(v_n)$ est géométrique de raison $r$. 2. Exprimons $v_n$ en fonction de $n$ : $$v_n = v_0 r^n,$$ avec $v_0 = 1 - \frac{2}{\sqrt{u_0}} = 1 - 2 = -1$. 3. Puis, exprimons $u_n$ en fonction de $v_n$ : $$v_n = 1 - \frac{2}{\sqrt{u_n}} \Rightarrow \sqrt{u_n} = \frac{2}{1 - v_n} \Rightarrow u_n = \left( \frac{2}{1 - v_n} \right)^2.$$ Calculons la limite : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{2}{1 - v_0 r^n} \right)^2 = \left( \frac{2}{1 - 0} \right)^2 = 4,$$ si $|r| < 1$. 4ème exercice, 1ère partie : 1. a) Vérifions l'expression : $$f(x) = (\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} - x = x^{2/3} + x^{1/3} - x.$$ On factorise par $x$ : $$f(x) = x \left( x^{-1/3} + x^{-2/3} - 1 \right) = x \left( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} - 1 \right).$$ b) Calcul de la limite : Quand $x \to +\infty$, $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \to 0$ et $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \to 0$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x (0 + 0 - 1) = \lim_{x \to +\infty} (-x) = -\infty.$$ La branche infinie est donc une branche qui tend vers $-\infty$ quand $x \to +\infty$. 2. a) Étudions la dérivabilité à droite en 0. Calculons $$f(0) = (0)^2 + 0 - 0 = 0.$$ La dérivée à droite en 0 est $$f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^{2/3} + h^{1/3} - h}{h} = \lim_{h \to 0^+} (h^{-1/3} + h^{-2/3} - 1).$$ Les termes $h^{-1/3}$ et $h^{-2/3}$ tendent vers $+\infty$, donc la dérivée à droite n'existe pas (tend vers $+\infty$). **Interprétation :** La fonction n'est pas dérivable en 0 à droite, elle a une pente verticale à cet endroit. --- **Réponses finales :** - $0 \leq u_n \leq 4$ pour tout $n$. - $(u_n)$ est monotone (selon $f$) et convergente vers $\ell$ solution de $\ell = f(\ell)$. - $(v_n)$ est géométrique de raison $r$ (à déterminer selon $f$). - $v_n = v_0 r^n$, $u_n = \left( \frac{2}{1 - v_n} \right)^2$. - $\lim_{n \to +\infty} u_n = 4$. - $f(x) = x \left( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} - 1 \right)$. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$. - $f$ n'est pas dérivable à droite en 0, pente verticale.