1. **Énoncé du problème :** Trouver pour quelles valeurs de $\alpha$ l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $\left]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right[$. 2. **Définition de la fonction $f$ :** $$ f(x) = \begin{cases} \alpha^{2} \sin(\pi x) + (2\alpha -4) x -1 & \text{si } x \in \left[-\frac{1}{2}, 0 \right[ \\ - \left( x \cos \left(\frac{\pi}{x}\right) +1\right) & \text{si } x \in \left] 0, \frac{1}{2} \right] \end{cases} $$ 3. **Calcul des valeurs aux bornes de l'intervalle :** - Pour $x = -\frac{1}{2}$ (dans la première branche) : $$ f\left(-\frac{1}{2}\right) = \alpha^{2} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + (2\alpha -4) \left(-\frac{1}{2}\right) -1$$ Sachant que $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, on a : $$ f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\alpha^{2} - \frac{2\alpha -4}{2} -1 = -\alpha^{2} - \alpha + 2 -1 = -\alpha^{2} - \alpha + 1$$ - Pour $x = \frac{1}{2}$ (dans la deuxième branche) : $$ f\left(\frac{1}{2}\right) = - \left( \frac{1}{2} \cos(2\pi) + 1 \right) = - \left( \frac{1}{2} \times 1 + 1 \right) = - \frac{3}{2}$$ 4. **Analyse du signe de $f$ aux bornes :** - $f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\alpha^{2} - \alpha + 1$ - $f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} < 0$ 5. **Recherche d'une solution dans $\left]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right[$ :** Pour que $f(x) = 0$ ait une solution dans cet intervalle, il faut que $f$ change de signe ou soit nul en un point de l'intervalle. 6. **Valeur en 0 (continuité) :** On sait que $f$ est prolongée par continuité en 0, donc : $$ f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = -1$$ 7. **Étude du signe de $f$ sur $\left[-\frac{1}{2}, 0\right]$ :** - $f(-\frac{1}{2}) = -\alpha^{2} - \alpha + 1$ - $f(0) = -1$ Si $f(-\frac{1}{2}) > 0$ et $f(0) = -1 < 0$, alors par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $x_0 \in \left]-\frac{1}{2}, 0\right[$ tel que $f(x_0) = 0$. Donc condition : $$ -\alpha^{2} - \alpha + 1 > 0 \iff \alpha^{2} + \alpha -1 < 0 $$ 8. **Résolution de l'inéquation quadratique :** $$ \alpha^{2} + \alpha -1 < 0 $$ Les racines sont : $$ \alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $$ L'inéquation est satisfaite pour : $$ \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < \alpha < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $$ 9. **Sur $\left]0, \frac{1}{2}\right]$ :** - $f(0) = -1 < 0$ - $f(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} < 0$ La fonction est négative aux deux bornes, donc pas de changement de signe, donc pas de zéro dans $\left]0, \frac{1}{2}\right]$. 10. **Conclusion :** L'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $\left]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right[$ si et seulement si $$ \boxed{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < \alpha < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} $$