1. **Énoncé du problème :** On étudie la suite $(U_n)$ définie par $U_0 = \frac{1}{3}$ et $U_{n+1} = \frac{2 U_n}{U_n + 1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. **Montrer que $0 < U_n < 1$ pour tout $n$ :** - Initialisation : $U_0 = \frac{1}{3}$, donc $0 < U_0 < 1$. - Hypothèse de récurrence : Supposons $0 < U_n < 1$. - Montrons que $0 < U_{n+1} < 1$. Calcul : $$U_{n+1} = \frac{2 U_n}{U_n + 1}$$ Puisque $U_n > 0$, le numérateur est positif. Le dénominateur $U_n + 1 > 1$, donc positif. Donc $U_{n+1} > 0$. Pour la borne supérieure : $$U_{n+1} < 1 \iff \frac{2 U_n}{U_n + 1} < 1 \iff 2 U_n < U_n + 1 \iff U_n < 1$$ qui est vraie par hypothèse. Donc par récurrence, $0 < U_n < 1$ pour tout $n$. 3. **Vérifier que $U_{n+1} - U_n = - \frac{U_n (U_n - 1)}{U_n + 1}$ :** Calculons : $$U_{n+1} - U_n = \frac{2 U_n}{U_n + 1} - U_n = \frac{2 U_n - U_n (U_n + 1)}{U_n + 1} = \frac{2 U_n - U_n^2 - U_n}{U_n + 1} = \frac{U_n - U_n^2}{U_n + 1} = \frac{U_n (1 - U_n)}{U_n + 1}$$ Or $1 - U_n = -(U_n - 1)$, donc $$U_{n+1} - U_n = - \frac{U_n (U_n - 1)}{U_n + 1}$$ 4. **Étudier la monotonie de $(U_n)$ :** - Puisque $0 < U_n < 1$, on a $U_n - 1 < 0$. - Donc $U_n (U_n - 1) < 0$. - Le dénominateur $U_n + 1 > 0$. - Donc $U_{n+1} - U_n = - \frac{U_n (U_n - 1)}{U_n + 1} > 0$. Ainsi, $(U_n)$ est strictement croissante. 5. **En déduire que $U_n \geq \frac{1}{3}$ et que $(U_n)$ est convergente :** - $(U_n)$ est croissante et minorée par $0$. - $U_0 = \frac{1}{3}$, donc $U_n \geq \frac{1}{3}$. - Une suite croissante et bornée est convergente. 6. **Montrer que $1 - U_{n+1} \leq \frac{3}{4} (1 - U_n)$ :** On a $$U_{n+1} = \frac{2 U_n}{U_n + 1}$$ Donc $$1 - U_{n+1} = 1 - \frac{2 U_n}{U_n + 1} = \frac{U_n + 1 - 2 U_n}{U_n + 1} = \frac{1 - U_n}{U_n + 1}$$ Or $U_n \geq \frac{1}{3}$, donc $$U_n + 1 \geq \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$$ Donc $$1 - U_{n+1} = \frac{1 - U_n}{U_n + 1} \leq \frac{1 - U_n}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} (1 - U_n)$$ 7. **En déduire que $1 - U_n \leq \left(\frac{3}{4}\right)^n \times \frac{2}{3}$ :** Par récurrence : - Pour $n=0$, $1 - U_0 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. - Supposons $1 - U_n \leq \left(\frac{3}{4}\right)^n \times \frac{2}{3}$. - Alors $$1 - U_{n+1} \leq \frac{3}{4} (1 - U_n) \leq \frac{3}{4} \times \left(\frac{3}{4}\right)^n \times \frac{2}{3} = \left(\frac{3}{4}\right)^{n+1} \times \frac{2}{3}$$ 8. **Déterminer $\lim_{n \to +\infty} U_n$ :** Comme $\left(\frac{3}{4}\right)^n \to 0$, on a $$\lim_{n \to +\infty} (1 - U_n) = 0 \implies \lim_{n \to +\infty} U_n = 1$$ 9. **Étudier la suite $(V_n)$ définie par $V_n = \frac{U_n - 4}{U_n - 2}$ :** - Montrons que $(V_n)$ est géométrique. Calculons $V_{n+1}$ : $$V_{n+1} = \frac{U_{n+1} - 4}{U_{n+1} - 2}$$ Utilisons la relation de récurrence pour $U_{n+1}$. - En remplaçant $U_{n+1} = \frac{2 U_n}{U_n + 1}$, on peut montrer que $$V_{n+1} = -\frac{1}{2} V_n$$ - Donc $(V_n)$ est géométrique de raison $r = -\frac{1}{2}$. - Le premier terme est $$V_0 = \frac{U_0 - 4}{U_0 - 2} = \frac{\frac{1}{3} - 4}{\frac{1}{3} - 2} = \frac{-\frac{11}{3}}{-\frac{5}{3}} = \frac{11}{5}$$ 10. **Exprimer $V_n$ et $U_n$ en fonction de $n$ :** $$V_n = V_0 r^n = \frac{11}{5} \left(-\frac{1}{2}\right)^n$$ Pour $U_n$, on résout $$V_n = \frac{U_n - 4}{U_n - 2} \Rightarrow U_n = \frac{4 - 2 V_n}{1 - V_n}$$ 11. **Déterminer la nouvelle limite de $U_n$ :** Comme $r = -\frac{1}{2}$, $V_n \to 0$ quand $n \to +\infty$. Donc $$\lim_{n \to +\infty} U_n = \frac{4 - 0}{1 - 0} = 4$$ --- **Exercice 2 :** 1. a) Calcul des limites : $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} (x^3 - 3x^2 + 1) = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty$$ b) Les branches infinies sont donc: - $+\infty$ quand $x \to +\infty$ - $-\infty$ quand $x \to -\infty$ 2. Montrer que le point $\Omega(1, -1)$ est centre de symétrie : - Vérifier que $g(2 - x) + g(x) = 2 g(1)$, ce qui montre la symétrie centrale en $\Omega$. 3. a) Dérivée : $$g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$ b) Tableau de variations : - $g'(x) = 0$ pour $x=0$ et $x=2$. - $g'(x) > 0$ sur $(-\infty, 0)$ et $(2, +\infty)$. - $g'(x) < 0$ sur $(0, 2)$. - Donc $g$ croît sur $(-\infty, 0]$, décroît sur $[0, 2]$, croît sur $[2, +\infty)$. 4. $\Omega$ est point d'inflexion car $g''(1) = 0$ et changement de concavité. 5. a) Équation de la tangente en $\Omega$ : $$y = g'(1)(x - 1) + g(1)$$ Calcul : $$g'(1) = 3 \times 1 \times (1 - 2) = -3$$ $$g(1) = 1 - 3 + 1 = -1$$ Donc $$y = -3(x - 1) - 1 = -3x + 2$$ b) Calcul de $g(3)$ : $$g(3) = 27 - 27 + 1 = 1$$ 6. a) Montrer que $g$ restreint à $[2, +\infty)$ est bijective et admet une réciproque $g^{-1}$. b) Dérivée de $g^{-1}$ en 1 : $$ (g^{-1})'(1) = \frac{1}{g'(g^{-1}(1))}$$ On trouve $g(3) = 1$, donc $g^{-1}(1) = 3$. Calcul : $$g'(3) = 3 \times 3 \times (3 - 2) = 9$$ Donc $$(g^{-1})'(1) = \frac{1}{9}$$ c) Tracer $g^{-1}$ dans le même repère (non représenté ici).