1. **Énoncé du problème** : On cherche à déterminer la dérivée de la fonction $f(x) = \ln(g(x))$ où $g(x)$ est une fonction dont le tableau de variation est donné. 2. **Formule utilisée** : La dérivée de la fonction composée $f(x) = \ln(g(x))$ est donnée par la règle de dérivation des fonctions composées et la dérivée du logarithme naturel : $$f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$$ 3. **Interprétation du tableau de variation de $g(x)$** : - $g(x)$ est positive sur les intervalles où $\ln(g(x))$ est défini. - Le tableau indique les variations de $g(x)$ : - décroissante de $0$ à $-\frac{1}{2}$, - croissante jusqu'à $1$ en $x=1$, - décroissante jusqu'à $\frac{1}{e}$ en $x=e$, - croissante vers $+\infty$. 4. **Dérivée $g'(x)$ selon le tableau** : - $g'(x) < 0$ lorsque $g$ décroît, - $g'(x) > 0$ lorsque $g$ croît. 5. **Expression finale** : $$f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$$ avec le signe de $f'(x)$ dépendant du signe de $g'(x)$ et de la positivité de $g(x)$. 6. **Conclusion** : Pour calculer explicitement $f'(x)$, il faut connaître $g'(x)$ et $g(x)$ en chaque point. Le tableau de variation donne le signe de $g'(x)$ et les valeurs de $g(x)$ aux points clés.