📘 analyse

1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x - \cos(x)$. Il faut :

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $g$ définie sur $]0,+\infty[$ par $$g(x) = x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1$$

1. Énonçons le problème : Montrer que la fonction $f(x) = \tan x - x$ est croissante sur l'intervalle $]0, \frac{\pi}{4}[$. 2. Pour étudier la croissance d'une fonction, on regarde

1. Énoncé : Vérifier si \(\iint_{\Omega} (1 - x^2/a^2 - y^2/b^2)\,dx\,dy = \frac{\pi a b}{2}\) pour \(\Omega=\{x^2/a^2 + y^2/b^2 \le 1\}\). Formule : L'intégrale d'une fonction rad

1. **Énoncé du problème :** Soit $g$ définie par $g(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par

1. **Énoncé du problème :** Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$.

1. **Énoncé du problème :** Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}.$$

1. Énonçons le problème : Calculer la limite de la fonction $$f(n) = \frac{n^2 + 5n - 1}{3n^2 - 2}$$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\n\n2. Rappelons la règle importante pour les l

1. Énoncé du problème : Montrer que pour tous réels $x$ et $y$, on a $$|x| + |x + y| + |y| \leq |2x| + |2y|.$$

1. Énoncé du problème : Montrer que pour trois nombres réels positifs $x, y, z$ tels que $x + y + z = 1$, on a

1. Énonçons le problème : Montrer que la suite $(u_n)$ est monotone signifie démontrer que la suite est soit croissante, soit décroissante. 2. Rappel de la définition : Une suite $

1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(u_n)_{n\geq0}$ définie par $u_0 \in ]0,1]$ et la relation de récurrence $$u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{(u_n)^2}{4}.$$ Montrer que pou

1. **Énoncé du problème :** On considère un espace vectoriel normé $E$ de dimension finie, c'est-à-dire $\dim E < +\infty$. On veut montrer que pour un sous-ensemble $K$ de $E$, $K

1. Énoncé du problème 1 : On donne $g(x)=x^3+12x-2$ et $f(x)=\frac{x^3+1}{x^2+4}$, on suppose $g(\alpha)=0$ avec $0<\alpha<1$ et l'on veut montrer que $f'(x)=\frac{x\,g(x)}{(x^2+4)

1. **Calculer les limites données :** 1) $$\lim_{x \to +\infty} (4x^2 - x + 5)$$

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $x \geq 0$, $|f'(x)| \leq \frac{1}{2}$.

1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $x \geq 0$, $|f'(x)| \leq \frac{1}{2}$.

1. **Énoncé du problème :** Soit $f$ définie par $f(x) = x\sqrt{1 - x}$.

1. Énonçons le problème : On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ par $$f(x) = 4x + 1 - \frac{1}{3 - x}.$$\n\n2. La fonction est composée d'une partie