1. **Énoncé du problème :** Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{2x} - e^x$. Nous devons calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$, puis en déduire une asymptote à la courbe $(C)$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour étudier les limites de fonctions exponentielles, on utilise que $\lim_{x \to -\infty} e^{ax} = 0$ si $a > 0$ et $\lim_{x \to +\infty} e^{ax} = +\infty$ si $a > 0$. 3. **Calcul de $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ :** $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (e^{2x} - e^x) = 0 - 0 = 0. $$ Les deux termes tendent vers 0 car $e^{2x}$ et $e^x$ tendent vers 0 quand $x \to -\infty$. 4. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ :** $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (e^{2x} - e^x) = +\infty - +\infty. $$ Cette forme est indéterminée, mais comme $e^{2x}$ croît plus vite que $e^x$, on peut factoriser : $$ f(x) = e^x(e^x - 1). $$ Quand $x \to +\infty$, $e^x \to +\infty$ et $e^x - 1 \to +\infty$, donc $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty. $$ 5. **Déduction d'une asymptote :** Pour trouver une asymptote oblique, on étudie $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et la forme de $f(x)$ quand $x \to -\infty$. On peut écrire : $$ f(x) = e^{2x} - e^x = e^x(e^x - 1). $$ Quand $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, donc $f(x) \approx -e^x$ qui tend vers 0. Il n'y a pas d'asymptote oblique car $f(x)$ tend vers 0. **Conclusion :** $$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty. $$ La courbe $(C)$ admet l'axe des abscisses $y=0$ comme asymptote horizontale à gauche.