1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = x + 2 - 2\sqrt{x - 1}$$ sur son domaine de définition. 2. **Détermination du domaine $D_f$ :** La fonction contient une racine carrée $\sqrt{x-1}$, donc l'expression sous la racine doit être positive ou nulle : $$x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$$ Ainsi, $$D_f = [1, +\infty[.$$ 3. **Limites à l'infini :** (a) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : $$f(x) = x + 2 - 2\sqrt{x-1}$$ Quand $x \to +\infty$, $\sqrt{x-1} \sim \sqrt{x}$, donc $$f(x) \sim x + 2 - 2\sqrt{x}$$ La partie $x$ domine, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ (b) Calcul de $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ : $$\frac{f(x)}{x} = \frac{x + 2 - 2\sqrt{x-1}}{x} = 1 + \frac{2}{x} - 2 \frac{\sqrt{x-1}}{x}$$ Or, $$\frac{\sqrt{x-1}}{x} = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x}}}{\sqrt{x}} \to 0$$ Donc $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 + 0 - 0 = 1.$$ Calcul de $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$ : $$f(x) - x = 2 - 2\sqrt{x-1}$$ Quand $x \to +\infty$, $\sqrt{x-1} \to +\infty$, donc $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = -\infty.$$ (c) **Branches infinies :** La fonction $f$ a une branche infinie asymptote à la droite $y = x$ car $$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$$ et $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = -\infty,$$ ce qui signifie que la courbe s'éloigne de la droite $y=x$ vers $-\infty$. 4. **Dérivabilité en 1 :** (a) Étudions la dérivabilité à droite en $x=1$. La fonction est définie sur $[1, +\infty[$. Calculons la dérivée à droite : $$f'(x) = 1 - 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x-1}}$$ Pour $x \to 1^+$, $$f'(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{x-1}} \to -\infty,$$ la dérivée n'est pas finie à droite en 1, donc $f$ n'est pas dérivable à droite en 1. (b) Graphiquement, cela signifie que la courbe a un angle ou une cuspide en $x=1$. 5. **Expression de $f'(x)$ et variations :** (a) Montrons que $$f'(x) = \frac{\sqrt{x-1} - 1}{\sqrt{x-1}}$$ En effet, $$f'(x) = 1 - \frac{1}{\sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}} - \frac{1}{\sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x-1} - 1}{\sqrt{x-1}}.$$ (b) Étudions le signe de $f'(x)$ pour $x > 1$ : - Le dénominateur $\sqrt{x-1} > 0$. - Le numérateur $\sqrt{x-1} - 1$ est positif si $\sqrt{x-1} > 1 \Rightarrow x-1 > 1 \Rightarrow x > 2$. Donc : - Pour $1 < x < 2$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroît. - Pour $x > 2$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croît. **Tableau de variations :** \begin{tabular}{c|ccc} $x$ & 1 & 2 & $+\infty$ \\ \hline $f'(x)$ & - & 0 & + \\ $f(x)$ & $f(1)=1+2-2\times0=3$ & minimum & $+\infty$ \\ \end{tabular} 6. **Étude de $f(x) - x$ :** (a) Montrons que $$f(x) - x = 2(1 - \sqrt{x-1})$$ En effet, $$f(x) - x = x + 2 - 2\sqrt{x-1} - x = 2 - 2\sqrt{x-1} = 2(1 - \sqrt{x-1}).$$ (b) Pour $x > 1$, $\sqrt{x-1} > 0$ : - Si $\sqrt{x-1} < 1$, alors $f(x) - x > 0$ donc $f(x) > x$. - Si $\sqrt{x-1} = 1$, alors $f(x) = x$. - Si $\sqrt{x-1} > 1$, alors $f(x) < x$. Donc la courbe $(C_f)$ est au-dessus de la droite $y=x$ pour $1 < x < 2$, touche la droite en $x=2$, et est en dessous pour $x > 2$. 7. **Équation de la tangente $(T)$ en $x=2$ :** Calculons $f(2)$ : $$f(2) = 2 + 2 - 2\sqrt{2-1} = 4 - 2 = 2.$$ Calculons $f'(2)$ : $$f'(2) = \frac{\sqrt{2-1} - 1}{\sqrt{2-1}} = \frac{1 - 1}{1} = 0.$$ L'équation de la tangente est donc $$y = f'(2)(x - 2) + f(2) = 0 \times (x - 2) + 2 = 2.$$ C'est une droite horizontale d'équation $$y = 2.$$ 8. **Résumé :** - Domaine : $[1, +\infty[$ - Limite en $+\infty$ : $f(x) \to +\infty$ - Asymptote oblique : $y = x$ - Dérivée : $f'(x) = \frac{\sqrt{x-1} - 1}{\sqrt{x-1}}$ - Variation : décroissante sur $]1,2[$, croissante sur $]2,+\infty[$ - Tangente en $x=2$ : $y=2$