1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $$h$$ définie sur $$[0; +\infty[$$ par $$h(x) = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{3}{4}x^2$$ pour $$x > 0$$ et $$h(0) = 0$$. 2. **Calcul de $$\frac{h(x)}{x}$$ en 0 :** On cherche $$\lim_{x \to 0^+} \frac{h(x)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{3}{4}x^2}{x} = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{2} x \ln x - \frac{3}{4} x \right)$$. 3. **Étude de la limite :** - $$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$$ car $$x \ln x \to 0$$. - Donc $$\lim_{x \to 0^+} \frac{h(x)}{x} = 0 - 0 = 0$$. 4. **Dérivabilité de $$h$$ en 0 :** Pour que $$h$$ soit dérivable en 0, il faut que $$\lim_{x \to 0} \frac{h(x) - h(0)}{x - 0}$$ existe. Or, $$\frac{h(x) - h(0)}{x} = \frac{h(x)}{x}$$ qui tend vers 0. Donc $$h$$ est dérivable en 0 et $$h'(0) = 0$$. 5. **Limite de $$h$$ en 0 :** $$\lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{2} x^2 \ln x - \frac{3}{4} x^2 \right)$$. - $$x^2 \ln x \to 0$$ car $$x^2$$ tend plus vite vers 0. - Donc $$\lim_{x \to 0^+} h(x) = 0$$. 6. **Limite de $$\frac{h(x)}{x}$$ en $$+\infty$$ :** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{h(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{2} x \ln x - \frac{3}{4} x \right) = +\infty$$ car $$x \ln x$$ croît plus vite que $$x$$. 7. **Interprétation graphique :** - $$h(0) = 0$$ et $$h'(0) = 0$$ donc la tangente en 0 est horizontale. - $$\frac{h(x)}{x}$$ tend vers 0 en 0 et vers $$+\infty$$ en $$+\infty$$, ce qui montre que $$h(x)$$ croît plus vite que $$x$$ pour $$x$$ grand. 8. **Justification de la dérivée pour $$x > 0$$ :** $$h(x) = \frac{1}{2} x^2 \ln x - \frac{3}{4} x^2$$. Calculons $$h'(x)$$ : $$h'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \ln x + \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} - \frac{3}{4} \cdot 2x = x \ln x + \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} x = x (\ln x + \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) = x (\ln x - 1)$$. 9. **Étude des variations de $$h$$ :** - Le signe de $$h'(x) = x (\ln x - 1)$$ dépend de $$\ln x - 1$$ car $$x > 0$$. - $$\ln x - 1 = 0 \iff x = e$$. - Pour $$x < e$$, $$\ln x - 1 < 0$$ donc $$h'(x) < 0$$. - Pour $$x > e$$, $$\ln x - 1 > 0$$ donc $$h'(x) > 0$$. 10. **Tableau de variations :** - $$h$$ décroît sur $$]0, e[$$. - $$h$$ atteint un minimum en $$x = e$$. - $$h$$ croît sur $$]e, +\infty[$$. 11. **Points d'intersection avec l'axe des abscisses :** On cherche $$x$$ tel que $$h(x) = 0$$. - $$h(0) = 0$$. - Pour $$x > 0$$, $$h(x) = \frac{1}{2} x^2 \ln x - \frac{3}{4} x^2 = x^2 \left( \frac{1}{2} \ln x - \frac{3}{4} \right) = 0$$. - $$x^2 = 0$$ donne $$x=0$$ déjà connu. - $$\frac{1}{2} \ln x - \frac{3}{4} = 0 \Rightarrow \ln x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = e^{3/2}$$. Donc les points d'intersection sont $$x=0$$ et $$x = e^{3/2}$$. 12. **Équation de la tangente $$T$$ en $$x=1$$ :** - Calcul de $$h(1)$$ : $$h(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \ln 1 - \frac{3}{4} \cdot 1^2 = 0 - \frac{3}{4} = -\frac{3}{4}$$. - Calcul de $$h'(1)$$ : $$h'(1) = 1 (\ln 1 - 1) = 1 (0 - 1) = -1$$. - Équation de la tangente : $$y = h'(1)(x - 1) + h(1) = -1 (x - 1) - \frac{3}{4} = -x + 1 - \frac{3}{4} = -x + \frac{1}{4}$$. 13. **Résumé :** - $$h$$ est dérivable en 0 avec $$h'(0) = 0$$. - $$h'(x) = x (\ln x - 1)$$. - $$h$$ décroît sur $$]0, e[$$, croît sur $$]e, +\infty[$$. - Zéros de $$h$$ : $$0$$ et $$e^{3/2}$$. - Tangente en $$x=1$$ : $$y = -x + \frac{1}{4}$$.