1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + 3 - x + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 - x + 4}.$$ Puis étudier la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. 2. **Étude de la fonction $f$ :** - Domaine de définition : La racine carrée impose $x^2 - x + 4 \geq 0$. Calculons le discriminant $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 1 - 16 = -15 < 0$. Donc $x^2 - x + 4 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Ainsi, $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. - Continuité et dérivabilité : $f$ est composée de fonctions continues et dérivables sur $\mathbb{R}$. - Calcul de la dérivée : $$f(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 - x + 4} = \frac{1}{2} (x^2 - x + 4)^{1/2}.$$ Par la règle de dérivation, $$f'(x) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} (x^2 - x + 4)^{-1/2} \times (2x - 1) = \frac{2x - 1}{4 \sqrt{x^2 - x + 4}}.$$ - Étude du signe de $f'(x)$ : Le dénominateur est toujours positif. Le signe de $f'(x)$ dépend de $2x - 1$. - Si $x < \frac{1}{2}$, alors $f'(x) < 0$ (fonction décroissante). - Si $x > \frac{1}{2}$, alors $f'(x) > 0$ (fonction croissante). - Minimum en $x = \frac{1}{2}$ : Calculons $f\left(\frac{1}{2}\right)$ : $$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 4} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 4} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{4}.$$ 3. **Représentation graphique :** La fonction $f$ est décroissante sur $(-\infty, \frac{1}{2}]$ et croissante sur $[\frac{1}{2}, +\infty)$ avec un minimum $\frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968$. 4. **Étude de la suite $(u_n)$ :** - Définition : $$u_0 = 0, \quad u_{n+1} = f(u_n).$$ - Calcul des premiers termes : $$u_1 = f(0) = \frac{1}{2} \sqrt{0^2 - 0 + 4} = \frac{1}{2} \times 2 = 1,$$ $$u_2 = f(1) = \frac{1}{2} \sqrt{1 - 1 + 4} = \frac{1}{2} \times \sqrt{4} = 1,$$ $$u_3 = f(1) = 1,$$ $$u_4 = f(1) = 1.$$ - Sur l'axe des abscisses, les points sont $u_0=0$, $u_1=1$, $u_2=1$, $u_3=1$, $u_4=1$. 5. **Conjecture :** La suite semble converger vers la valeur $1$. 6. **Montrer que $u_n \geq 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :** - Initialisation : $u_0 = 0 \geq 0$. - Hypothèse de récurrence : Supposons $u_n \geq 0$. - Comme $f(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 - x + 4}$ et que l'expression sous la racine est toujours positive, $f(u_n) \geq 0$. - Donc $u_{n+1} = f(u_n) \geq 0$. - Par récurrence, $u_n \geq 0$ pour tout $n$. **Réponse finale :** La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, décroissante puis croissante avec un minimum en $x=\frac{1}{2}$. La suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ est positive et converge vers $1$.