1. **Exercice 1 : Continuité de la fonction f en 2** On considère la fonction $$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2} & x \neq 2 \\ \frac{1}{4} & x = 2 \end{cases}$$ **1) Montrer que f est continue en 2** - Calculons la limite de $f(x)$ quand $x \to 2$. $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2}$$ - On remarque que la forme est indéterminée $\frac{0}{0}$. - Pour lever l'indétermination, multiplions par le conjugué : $$\frac{\sqrt{x+2} - 2}{x - 2} \times \frac{\sqrt{x+2} + 2}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{(x+2) - 4}{(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{x - 2}{(x-2)(\sqrt{x+2} + 2)}$$ - Simplifions : $$= \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2}$$ - En faisant tendre $x$ vers 2 : $$\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$$ - Or $f(2) = \frac{1}{4}$, donc $f$ est continue en 2. **2) Prouver que f est continue sur $[-2, +\infty[$** - Pour $x \neq 2$, $f$ est composée de fonctions continues (racine carrée et fonctions rationnelles) sur $[-2, +\infty[ \setminus \{2\}$. - En 2, on a montré la continuité. - Donc $f$ est continue sur tout $[-2, +\infty[$. 2. **Exercice 2 : Limites et continuité de f en 2** La fonction est définie par : $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2} & x \neq 2 \\ \frac{\sqrt{x^2 + 2} - 2}{x - 2} & x > 2 \\ 1 & x = 2 \end{cases}$$ **1) Calculer $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x)$** - Pour $x < 2$, $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2}$. - Factorisons le numérateur : $$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$$ - Donc pour $x \neq 2$ : $$f(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)}{x - 2} = x - 1$$ - Ainsi : $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 - 1 = 1$$ - Pour $x > 2$, $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 2} - 2}{x - 2}$. - Calculons la limite à droite : $$\lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x^2 + 2} - 2}{x - 2}$$ - Forme indéterminée $\frac{0}{0}$, multiplions par le conjugué : $$= \lim_{x \to 2^+} \frac{(\sqrt{x^2 + 2} - 2)(\sqrt{x^2 + 2} + 2)}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 2} + 2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 + 2 - 4}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 2} + 2)} = \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 2}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 2} + 2)}$$ - Factorisons le numérateur : $$x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$$ - Mais cela ne simplifie pas directement avec $x - 2$. - Essayons une autre méthode : - Écrivons $x^2 - 2 = (x - 2)(x + 2) + 2$ ? Non, mieux : - Remarquons que $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, donc $x^2 - 2 = (x^2 - 4) + 2 = (x - 2)(x + 2) + 2$. - Donc : $$\frac{x^2 - 2}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 2} + 2)} = \frac{(x - 2)(x + 2) + 2}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 2} + 2)} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 2} + 2)} + \frac{2}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 2} + 2)}$$ - La deuxième fraction diverge quand $x \to 2$, donc cette méthode ne marche pas. - Utilisons la dérivée pour la limite de la forme $\frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$. - Posons $g(x) = \sqrt{x^2 + 2}$, alors $$\lim_{x \to 2} \frac{g(x) - g(2)}{x - 2} = g'(2)$$ - Calculons $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2}} \times 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}$ - Donc $$g'(2) = \frac{2}{\sqrt{4 + 2}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$$ - La limite est donc $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = g'(2) = \frac{2}{\sqrt{6}}$$ **2) f est-elle continue en 2 ?** - On a : $$f(2) = 1$$ $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$$ $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{2}{\sqrt{6}} \approx 0,8165$$ - Les limites à gauche et à droite ne sont pas égales, donc la limite en 2 n'existe pas. - Donc $f$ n'est pas continue en 2. 3. **Exercice 3 : Étude de la fonction $f(x) = x^3 + x^2 + 2x - 3$** **1) Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]0;1[$** - Calculons $f(0) = -3 < 0$ et $f(1) = 1 + 1 + 2 - 3 = 1 > 0$. - Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une racine $\alpha \in ]0,1[$. - Calculons la dérivée : $$f'(x) = 3x^2 + 2x + 2$$ - Comme $3x^2 + 2x + 2 > 0$ pour tout $x$ (discriminant négatif), $f$ est strictement croissante. - Donc $f$ est strictement monotone, donc l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution. **2) Montrer que : $\alpha^2(\alpha + 1) = 3 - 2\alpha$** - Comme $f(\alpha) = 0$, on a : $$\alpha^3 + \alpha^2 + 2\alpha - 3 = 0$$ - Réarrangeons : $$\alpha^3 + \alpha^2 = 3 - 2\alpha$$ - Factorisons à gauche : $$\alpha^2(\alpha + 1) = 3 - 2\alpha$$ **3) Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,5** - On sait $\alpha \in ]0,1[$. - Testons $f(0.5)$ : $$f(0.5) = 0.125 + 0.25 + 1 - 3 = -1.625 < 0$$ - Testons $f(1)$ : $$f(1) = 1 > 0$$ - Donc $\alpha \in ]0.5,1[$, amplitude $1 - 0.5 = 0.5$. **4) Déterminer le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$** - $f$ est strictement croissante. - $f(\alpha) = 0$. - Donc : $$\begin{cases} f(x) < 0 & \text{pour } x < \alpha \\ f(x) = 0 & \text{pour } x = \alpha \\ f(x) > 0 & \text{pour } x > \alpha \end{cases}$$ 4. **Exercice 4 : Étude de $f(x) = x - \sqrt{x}$ sur $I = [\frac{1}{4}, +\infty[$** **1) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$** - Quand $x \to +\infty$, $x$ domine $\sqrt{x}$. - Donc $$\lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x}) = +\infty$$ **2a) Montrer que : $$f'(x) = \frac{4x - 1}{2\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)}$$ pour tout $x \in [\frac{1}{4}, +\infty[$** - Calculons la dérivée : $$f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}}$$ - Mettons sous forme demandée : $$\frac{4x - 1}{2\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)}$$ - Vérifions l'égalité : $$\frac{4x - 1}{2\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)} = \frac{(2\sqrt{x} - 1)(2\sqrt{x} + 1)}{2\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)} = \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}}$$ - Donc la formule est correcte. **2b) Donner le tableau de variations de f** - Étudions le signe de $f'(x)$ sur $[\frac{1}{4}, +\infty[$. - Le dénominateur est toujours positif. - Le numérateur $4x - 1$ est nul en $x = \frac{1}{4}$. - Pour $x > \frac{1}{4}$, $4x - 1 > 0$ donc $f'(x) > 0$. - Donc $f$ est croissante sur $[\frac{1}{4}, +\infty[$. - En $x = \frac{1}{4}$, $f'(x) = 0$. - Valeur de $f(\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$. **3) Montrer que f admet une fonction réciproque définie d’un intervalle J vers $[\frac{1}{4}, +\infty[$** - Comme $f$ est strictement croissante sur $[\frac{1}{4}, +\infty[$, elle est bijective sur son image $J = f([\frac{1}{4}, +\infty[)$. - Donc $f$ admet une réciproque $f^{-1} : J \to [\frac{1}{4}, +\infty[$. **4) Déterminer $f^{-1}(x)$ pour tout $x$ de $J$** - Posons $y = f(x) = x - \sqrt{x}$. - Posons $t = \sqrt{x} \geq 0$, alors $$y = t^2 - t$$ - Réarrangeons : $$t^2 - t - y = 0$$ - Résolvons en $t$ : $$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4y}}{2}$$ - Comme $t = \sqrt{x} \geq 0$, on prend la racine positive : $$t = \frac{1 + \sqrt{1 + 4y}}{2}$$ - Donc $$x = t^2 = \left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4y}}{2}\right)^2$$ - Ainsi $$f^{-1}(y) = \left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4y}}{2}\right)^2$$ 5. **Exercice 5 : Calculs** **1) Simplifier :** $$A = \frac{\sqrt{1024} \times \sqrt{3200000}}{\sqrt{64} \times \sqrt{252} \times \sqrt{18}}$$ - Calculons chaque racine : $$\sqrt{1024} = 32$$ $$\sqrt{3200000} = \sqrt{32 \times 10^5} = \sqrt{32} \times 10^{2.5} = 4\sqrt{2} \times 10^{2.5}$$ - Pour simplifier, calculons numériquement : $$\sqrt{3200000} = \sqrt{3.2 \times 10^6} = \sqrt{3.2} \times 10^3 \approx 1.7889 \times 1000 = 1788.854$$ - Calculons dénominateur : $$\sqrt{64} = 8$$ $$\sqrt{252} = \sqrt{4 \times 63} = 2 \sqrt{63} \approx 2 \times 7.937 = 15.874$$ $$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3 \sqrt{2} \approx 3 \times 1.414 = 4.242$$ - Produit dénominateur : $$8 \times 15.874 \times 4.242 \approx 8 \times 67.34 = 538.72$$ - Numérateur : $$32 \times 1788.854 = 57243.33$$ - Donc $$A \approx \frac{57243.33}{538.72} \approx 106.25$$ - Pour une simplification exacte, on peut écrire : $$A = \frac{32 \times \sqrt{3200000}}{8 \times \sqrt{252 \times 18}} = 4 \times \frac{\sqrt{3200000}}{\sqrt{4536}} = 4 \times \sqrt{\frac{3200000}{4536}}$$ - Simplifions la fraction : $$\frac{3200000}{4536} \approx 705.6$$ - Donc $$A = 4 \times \sqrt{705.6} \approx 4 \times 26.57 = 106.28$$ **2) Calculer :** $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x + 6} - 2}{x - 1}$$ - Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. - Multiplions par le conjugué : $$= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{2x + 6} - 2)(\sqrt{2x + 6} + 2)}{(x - 1)(\sqrt{2x + 6} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{2x + 6 - 4}{(x - 1)(\sqrt{2x + 6} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{2x + 2}{(x - 1)(\sqrt{2x + 6} + 2)}$$ - Factorisons le numérateur : $$2(x + 1)$$ - On a encore une forme indéterminée, utilisons la dérivée de $g(x) = \sqrt{2x + 6}$ : $$g'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x + 6}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 6}}$$ - Donc $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x + 6} - 2}{x - 1} = g'(1) = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$ **Réponses finales :** - Exercice 1 : $f$ est continue en 2 et sur $[-2, +\infty[$. - Exercice 2 : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$, $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{2}{\sqrt{6}}$, $f$ n'est pas continue en 2. - Exercice 3 : $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0,1[$, $\alpha^2(\alpha + 1) = 3 - 2\alpha$, $\alpha \in ]0.5,1[$, signe de $f$ selon $x$ par rapport à $\alpha$. - Exercice 4 : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, dérivée donnée, $f$ croissante, réciproque définie sur $J$, $f^{-1}(y) = \left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4y}}{2}\right)^2$. - Exercice 5 : $$A \approx 106.25$$ $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x + 6} - 2}{x - 1} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$