1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}.$$ **a)** Vérifier que pour tout réel $x$, $$g'(x) = \frac{1}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}.$$ **b)** Étudier les variations de $g$ et en déduire que pour tout réel $x$, $g(x) > 0$. 2. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = x - 1 + \sqrt{x^{2} + 1}.$$ **a)** Vérifier que pour tout réel $x$, $$f'(x) = g(x).$$ **b)** Montrer que $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty,$$ (la limite donnée dans l'énoncé $-1$ semble être une erreur, la limite correcte est $+\infty$). **c)** Dresser le tableau de variation de $f$. 3. **a)** Montrer que la droite $$\Delta : y = 2x - 1$$ est une asymptote à la courbe $\zeta$ (graphique de $f$) au voisinage de $+\infty$. **b)** Écrire une équation de la tangente $T$ à $\zeta$. **c)** Tracer $T$ et $\Delta$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ en plaçant les points de $\zeta$ d’abscisses $-1$ et $1$. 4. **a)** Vérifier que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur un intervalle $J$ à déterminer. **b)** Calculer $$(f^{-1})'(\sqrt{2}),$$ avec $f^{-1}$ la fonction réciproque de $f$. **c)** Tracer $\zeta$, la courbe représentative de $f^{-1}$ dans le repère $(O,\vec{i},\vec{j})$. --- ### Résolution détaillée : 1. **Calcul de $g'(x)$ :** $$g(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1 + x(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}}.$$ Utilisons la dérivation produit et chaîne : $$g'(x) = 0 + \left[1 \cdot (x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} + x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x^2 + 1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x \right].$$ Simplifions : $$g'(x) = (x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} - x^2 (x^2 + 1)^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} - \frac{x^2}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}}.$$ Mettons au même dénominateur : $$g'(x) = \frac{x^2 + 1}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}} - \frac{x^2}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(x^2 + 1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}.$$ Donc la formule est vérifiée. 2. **Étude des variations de $g$ :** - $g'(x) > 0$ pour tout $x$ car le dénominateur est strictement positif. - Donc $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Calculons les limites : $$\lim_{x \to -\infty} g(x) = 1 + \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1 + (-1) = 0,$$ $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1 + 1 = 2.$$ Comme $g$ est strictement croissante et tend vers $0$ par la gauche, $g(x) > 0$ pour tout $x$. 3. **Calcul de $f'(x)$ :** $$f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2 + 1}.$$ Dérivons : $$f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = g(x).$$ 4. **Limite de $f$ en $+\infty$ :** Pour $x \to +\infty$, $$\sqrt{x^2 + 1} = x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \sim x + \frac{1}{2x}.$$ Donc $$f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2 + 1} \sim x - 1 + x = 2x - 1 \to +\infty.$$ La limite donnée $-1$ semble être une erreur dans l'énoncé. 5. **Tableau de variation de $f$ :** - $f'(x) = g(x) > 0$ donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - Calculons $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ : $$f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2 + 1} \sim x - 1 + (-x) = -1.$$ Donc $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1,$$ et $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.$$ 6. **Asymptote $\Delta$ :** On cherche une droite $y = ax + b$ telle que $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (ax + b)) = 0.$$ On a vu que $f(x) \sim 2x - 1$ donc $a=2$, $b=-1$. 7. **Équation de la tangente $T$ :** La tangente en un point $x_0$ est $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) = g(x_0)(x - x_0) + f(x_0).$$ 8. **Bijection de $f$ :** - $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Donc $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $J = ]-1, +\infty[$. 9. **Dérivée de la fonction réciproque :** Pour $y = f(x)$, $$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{g(f^{-1}(y))}.$$ Calculons $(f^{-1})'(\sqrt{2})$ : Trouvons $x_0$ tel que $f(x_0) = \sqrt{2}$. On résout $$x_0 - 1 + \sqrt{x_0^2 + 1} = \sqrt{2}.$$ Posons $s = \sqrt{x_0^2 + 1}$, alors $$x_0 - 1 + s = \sqrt{2} \Rightarrow s = \sqrt{2} + 1 - x_0.$$ Mais $s^2 = x_0^2 + 1$, donc $$(\sqrt{2} + 1 - x_0)^2 = x_0^2 + 1.$$ Développons : $$(\sqrt{2} + 1)^2 - 2x_0(\sqrt{2} + 1) + x_0^2 = x_0^2 + 1,$$ $$ (\sqrt{2} + 1)^2 - 2x_0(\sqrt{2} + 1) = 1,$$ Calculons $(\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$, $$3 + 2\sqrt{2} - 2x_0(\sqrt{2} + 1) = 1,$$ $$2 + 2\sqrt{2} = 2x_0(\sqrt{2} + 1),$$ $$x_0 = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2(\sqrt{2} + 1)} = \frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = 1.$$ Donc $x_0 = 1$. Enfin, $$(f^{-1})'(\sqrt{2}) = \frac{1}{g(1)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}.$$ 10. **Tracé de $\zeta$ et $f^{-1}$ :** - $\zeta$ est la courbe de $f$. - La courbe de $f^{-1}$ est la symétrique de $\zeta$ par rapport à la droite $y = x$. --- **Résumé final :** - $g'(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}$. - $g$ est strictement croissante et $g(x) > 0$. - $f'(x) = g(x)$. - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - $f$ est strictement croissante, bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-1, +\infty[$. - $\Delta : y = 2x - 1$ est asymptote de $f$ en $+\infty$. - Tangente en $x_0$ : $y = g(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$. - $(f^{-1})'(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$.