1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(u_n)_{n\geq0}$ définie par $u_0 \in ]0,1]$ et la relation de récurrence $$u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{(u_n)^2}{4}.$$ Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_n > 0$. 2. **Formule et règles importantes :** La suite est définie par une relation de récurrence. Pour montrer que $u_n > 0$ pour tout $n$, on utilisera le principe de récurrence mathématique. 3. **Initialisation :** Par hypothèse, $u_0 \in ]0,1]$, donc $u_0 > 0$. 4. **Hérédité :** Supposons que pour un certain $n \in \mathbb{N}$, on a $u_n > 0$. Montrons que cela implique $u_{n+1} > 0$. 5. **Calcul de $u_{n+1}$ :** $$u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{(u_n)^2}{4} = \frac{u_n}{2} + \frac{u_n^2}{4}.$$ 6. **Analyse du signe :** Puisque $u_n > 0$, alors $\frac{u_n}{2} > 0$ et $\frac{u_n^2}{4} > 0$ car le carré d'un réel est toujours positif ou nul, ici strictement positif car $u_n > 0$. 7. **Conclusion de l'hérédité :** Donc, $$u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{u_n^2}{4} > 0 + 0 = 0.$$ 8. **Conclusion finale :** Par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_n > 0$. **Réponse finale :** $$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\ u_n > 0}.$$