1. **Énoncé du problème :** Soit la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{x}{\sqrt[3]{x+1}} - 1 \quad \text{pour } x \neq 0$$ et $f(0) = 3$. Nous devons : a) Vérifier le domaine de définition $D_f$ et calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$. b) Montrer que $f$ est continue en 0. c) Montrer que $f$ est continue sur $D_f$. 2) a) Montrer que $f$ est dérivable en 0. --- 2. **Domaine de définition $D_f$ :** La fonction $f$ est définie pour $x \neq 0$ par $f(x) = \frac{x}{\sqrt[3]{x+1}} - 1$. - La racine cubique $\sqrt[3]{x+1}$ est définie pour tout $x \geq -1$ (en fait pour tout réel, mais ici on considère $x+1 \geq 0$ pour éviter les problèmes de racines). - Le dénominateur $\sqrt[3]{x+1}$ ne s'annule jamais car la racine cubique de 0 est 0, mais ici $x+1=0$ donne $x=-1$. - Pour $x=-1$, $\sqrt[3]{0} = 0$, donc la fonction n'est pas définie en $x=-1$ car division par zéro. Donc le domaine de définition est $D_f = [-1, +\infty[ \setminus \{0\}$. 3. **Calcul de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ :** $$f(x) = \frac{x}{\sqrt[3]{x+1}} - 1 = \frac{x}{(x+1)^{1/3}} - 1$$ Pour $x \to +\infty$, on peut écrire : $$f(x) = \frac{x}{x^{1/3}(1 + \frac{1}{x})^{1/3}} - 1 = \frac{x}{x^{1/3}} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{1}{x})^{1/3}} - 1 = x^{2/3} \cdot (1 + \frac{1}{x})^{-1/3} - 1$$ Quand $x \to +\infty$, $(1 + \frac{1}{x})^{-1/3} \to 1$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^{2/3} - 1 = +\infty$$ 4. **Continuité en 0 :** On doit vérifier que $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 3$$ Calculons la limite : $$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sqrt[3]{x+1}} - 1 \right)$$ Utilisons le développement de $\sqrt[3]{x+1}$ autour de 0 : $$\sqrt[3]{x+1} = 1 + \frac{x}{3} + o(x)$$ Donc $$f(x) = \frac{x}{1 + \frac{x}{3} + o(x)} - 1 = x \left(1 - \frac{x}{3} + o(x)\right) - 1 = x - \frac{x^2}{3} + o(x^2) - 1$$ Quand $x \to 0$, $f(x) \to -1$, ce qui est différent de $f(0) = 3$. Donc $f$ n'est pas continue en 0 avec cette définition. **Cependant, la question demande de montrer que $f$ est continue en 0, donc il faut vérifier la définition exacte de $f(0)$ donnée.** Il y a peut-être une erreur dans l'énoncé ou une autre expression pour $f(x)$. 5. **Continuité sur $D_f$ :** Pour $x \neq 0$, $f$ est composée de fonctions continues (division par racine cubique non nulle), donc $f$ est continue sur $D_f \setminus \{0\}$. 6. **Dérivabilité en 0 :** Pour montrer que $f$ est dérivable en 0, on calcule la limite $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$$ Avec $f(0) = 3$ et $f(h) = \frac{h}{\sqrt[3]{h+1}} - 1$ pour $h \neq 0$. Calculons : $$\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\frac{h}{\sqrt[3]{h+1}} - 1 - 3}{h} = \frac{\frac{h}{\sqrt[3]{h+1}} - 4}{h}$$ Utilisons le développement de $\sqrt[3]{h+1}$ : $$\sqrt[3]{h+1} = 1 + \frac{h}{3} + o(h)$$ Donc $$\frac{h}{\sqrt[3]{h+1}} = \frac{h}{1 + \frac{h}{3} + o(h)} = h \left(1 - \frac{h}{3} + o(h)\right) = h - \frac{h^2}{3} + o(h^2)$$ Ainsi $$\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{h - \frac{h^2}{3} + o(h^2) - 4}{h} = \frac{h - 4 + o(h)}{h} = 1 - \frac{4}{h} + o(1)$$ Cette limite n'existe pas car $\frac{4}{h}$ diverge quand $h \to 0$. Donc $f$ n'est pas dérivable en 0. --- **Conclusion :** - Le domaine est $D_f = [-1, +\infty[ \setminus \{0\}$. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - $f$ n'est pas continue en 0 avec la définition donnée. - $f$ est continue sur $D_f \setminus \{0\}$. - $f$ n'est pas dérivable en 0. --- **Remarque :** Si $f(0) = 3$ est donné, mais la limite en 0 de $f(x)$ est $-1$, alors $f$ n'est pas continue en 0. --- **Résumé des réponses :** 1) a) $D_f = [-1, +\infty[ \setminus \{0\}$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. b) $f$ n'est pas continue en 0. c) $f$ est continue sur $D_f \setminus \{0\}$. 2) a) $f$ n'est pas dérivable en 0.