1. Énoncé du problème : Montrer que pour tous réels $x$ et $y$, on a $$|x| + |x + y| + |y| \leq |2x| + |2y|.$$ 2. Rappel des propriétés importantes : - La valeur absolue satisfait l'inégalité triangulaire : $$|a + b| \leq |a| + |b|$$ pour tous réels $a,b$. - Pour tout réel $t$, $|2t| = 2|t|$. 3. Preuve : On commence par écrire le membre de droite en utilisant la propriété de la valeur absolue : $$|2x| + |2y| = 2|x| + 2|y|.$$ 4. On veut montrer que $$|x| + |x + y| + |y| \leq 2|x| + 2|y|.$$ 5. En utilisant l'inégalité triangulaire sur $|x + y|$, on a $$|x + y| \leq |x| + |y|.$$ 6. Donc, $$|x| + |x + y| + |y| \leq |x| + (|x| + |y|) + |y| = 2|x| + 2|y|,$$ ce qui est exactement l'inégalité à démontrer. --- 7. Deuxième problème : Déterminer les bornes de l'ensemble $$A = \left\{ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} ; n \in \mathbb{N}^*, (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}.$$ 8. Simplifions l'expression de $A$ : $$A = \left\{ \frac{a+b}{n} ; n \in \mathbb{N}^*, (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}.$$ 9. Puisque $a$ et $b$ sont des réels quelconques, $a+b$ peut prendre n'importe quelle valeur réelle. Appelons $c = a+b \in \mathbb{R}$. 10. Donc $$A = \left\{ \frac{c}{n} ; n \in \mathbb{N}^*, c \in \mathbb{R} \right\}.$$ 11. Pour un $n$ fixé, $\frac{c}{n}$ parcourt tout $\mathbb{R}$ car $c$ est arbitraire. 12. Par conséquent, $A = \mathbb{R}$. 13. L'ensemble $A$ est donc non borné, il n'a ni borne supérieure ni borne inférieure finie. 14. Conclusion : - L'ensemble $A$ est égal à $\mathbb{R}$. - Il n'existe pas de maximum ni de minimum.