1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $f$ définie pour $x\geq 0$ par $f(x) = x - \sqrt{x}$. Calculer certaines limites, étudier la dérivabilité, le signe de la dérivée, le tableau de variations, le nombre de solutions de $f(x) = \lambda$, étudier la fonction $g$ restreinte et sa réciproque. 2. **Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$** : $$f(x) = x - \sqrt{x} = x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$ Quand $x \to +\infty$, $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$, donc $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ 3. **Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de 0** : - Pour $x>0$, $f(x) = x - x^{1/2}$ est somme de fonctions dérivables. - La dérivée à droite en 0 est : $$f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - \sqrt{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \left(1 - \frac{1}{\sqrt{h}}\right) = -\infty$$ Donc $f$ n'est pas dérivable en 0 à droite. 4. **Montrer que $f'(x) = \frac{4x - 1}{2\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)}$ pour $x > 0$** : Calcul classique : $$f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}}$$ On veut écrire sous la forme donnée. Multiplions numérateur et dénominateur par $(2\sqrt{x} + 1)$: $$f'(x) = \frac{2\sqrt{x} - 1}{2\sqrt{x}} \times \frac{2\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x} + 1} = \frac{(2\sqrt{x} - 1)(2\sqrt{x} + 1)}{2\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)} = \frac{4x - 1}{2\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)}$$ 5. **Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations** : - Le dénominateur $2\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1) > 0$ pour $x>0$. - Le signe dépend donc de $4x - 1$. - $4x - 1 = 0$ pour $x = \frac{1}{4}$. - Pour $x < \frac{1}{4}$, $4x -1 < 0$ donc $f'(x) <0$ (fonction décroissante). - Pour $x > \frac{1}{4}$, $f'(x) > 0$ (fonction croissante). 6. **Valeur de $f$ en $x=0$ et $x=\frac{1}{4}$** : $$f(0) = 0 - 0 = 0$$ $$f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$ Le tableau de variations est : $x$ : 0 \quad $\to$ \quad $\frac{1}{4}$ \quad $\to$ $+\infty$ $f(x)$ : 0 \quad $\searrow$ \quad $-\frac{1}{4}$ \quad $\nearrow$ \quad $+\infty$ 7. **Nombre de solutions de $f(x)=\lambda$ selon $\lambda$** : - $f([0,+\infty[) = [-\frac{1}{4}, +\infty[$ - Si $\lambda < -\frac{1}{4}$, aucune solution. - Si $\lambda = -\frac{1}{4}$, une solution unique $x=\frac{1}{4}$. - Si $-\frac{1}{4} < \lambda < 0$, deux solutions (car la fonction décroît puis croît, double valeur). - Si $\lambda \geq 0$, une solution unique (car fonction croissante sur $[\frac{1}{4},+\infty[$ avec $f(0)=0$). 8. **Définition et domaine de $g$ : $g$ est la restriction de $f$ à $I = [\frac{1}{4}, +\infty[$. 9. **Existence de la fonction réciproque $g^{-1}$** : - Sur $I$, $g$ est strictement croissante (car $f'(x) >0$ pour $x> \frac{1}{4}$). - $g(I) = [f(\frac{1}{4}), +\infty[ = [-\frac{1}{4}, +\infty[$ donc $J = [-\frac{1}{4}, +\infty[$. 10. **Expression de $g^{-1}$** : - À partir de $y = g(x) = x - \sqrt{x}$ avec $x \geq \frac{1}{4}$. - Posons $t = \sqrt{x} \Rightarrow x = t^2$. - Donc $y = t^2 - t$. - Résolvons $t^2 - t - y = 0$ en $t$. $$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4y}}{2}$$ - Comme $x \geq \frac{1}{4}$, donc $t = \sqrt{x} \geq \frac{1}{2}$. - La racine positive correspond à $t = \frac{1 + \sqrt{1 + 4y}}{2}$. - Donc $$g^{-1}(y) = \left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4y}}{2}\right)^2 = \frac{(1 + \sqrt{1 + 4y})^2}{4}$$ 11. **Dérivabilité de $g^{-1}$ en 6 et calcul de $(g^{-1})'(6)$** : - La dérivée de la fonction réciproque est donnée par : $$ (g^{-1})'(y) = \frac{1}{g'(x)} \quad \text{où} \quad x = g^{-1}(y)$$ - Calculons $x_0 = g^{-1}(6)$ : $$x_0 = \left( \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \times 6}}{2} \right)^2 = \left( \frac{1 + \sqrt{25}}{2} \right)^2 = \left( \frac{1 + 5}{2} \right)^2 = 3^2 = 9$$ - Calcul de $g'(x_0)$ : $$g'(x) = f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow g'(9) = 1 - \frac{1}{2 \times 3} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$ - Finalement, $$(g^{-1})'(6) = \frac{1}{g'(9)} = \frac{1}{\frac{5}{6}} = \frac{6}{5}$$ **Résumé final** : - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ - $f$ n'est pas dérivable en 0 à droite. - $f'(x) = \frac{4x - 1}{2\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)}$. - $f$ décroît sur $[0,\frac{1}{4}]$, croît sur $[\frac{1}{4}, +\infty[$. - Solutions de $f(x) = \lambda$ selon $\lambda$ visibles ci-dessus. - $g^{-1}(y) = \frac{(1 + \sqrt{1 + 4y})^2}{4}$ pour $y \geq -\frac{1}{4}$. - $(g^{-1})'(6) = \frac{6}{5}$.