1. **Énoncé du problème :** Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$. 2. **Calcul de la dérivée $g'(x)$ :** On utilise la dérivation d'un quotient et la dérivée de $\sqrt{x^{2}+1}$. $$g(x) = 1 + x(x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}}$$ Dérivons la partie variable : $$g'(x) = 0 + \left[(x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}} + x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x^{2}+1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x\right]$$ Simplifions : $$g'(x) = (x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}} - x^{2}(x^{2}+1)^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} - \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}$$ Mettons au même dénominateur : $$g'(x) = \frac{x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}} - \frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}$$ Donc la formule donnée est vérifiée. 3. **Étude des variations de $g$ :** - Le dénominateur $(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}$ est toujours strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$. - Donc $g'(x) > 0$ pour tout $x$, ce qui signifie que $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 4. **Signe de $g(x)$ :** - Calculons $g(0) = 1 + \frac{0}{\sqrt{0+1}} = 1 > 0$. - Comme $g$ est strictement croissante et $g(0) > 0$, alors pour tout $x$, $g(x) > 0$. --- 5. **Définition de $f$ :** $f(x) = x - 1 + \sqrt{x^{2}+1}$. 6. **Calcul de $f'(x)$ :** $$f'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} = g(x)$$ Donc $f'(x) = g(x)$ est vérifié. 7. **Limite de $f(x)$ en $+\infty$ :** Pour $x \to +\infty$, $$\sqrt{x^{2}+1} = x\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} \sim x + \frac{1}{2x}$$ Donc $$f(x) = x - 1 + \sqrt{x^{2}+1} \sim x - 1 + x + \frac{1}{2x} = 2x - 1 + \frac{1}{2x}$$ La limite tend vers $+\infty$, donc la limite donnée $-1$ semble être une erreur dans l'énoncé. Supposons qu'il s'agit de la limite en $-\infty$. Pour $x \to -\infty$, $$\sqrt{x^{2}+1} \sim -x$$ Donc $$f(x) = x - 1 + \sqrt{x^{2}+1} \sim x - 1 - x = -1$$ Donc $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$$ Graphiquement, cela signifie que la courbe $\zeta$ admet une asymptote horizontale $y = -1$ à gauche. 8. **Tableau de variations de $f$ :** - $f'(x) = g(x) > 0$ pour tout $x$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - Limites : - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$ - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ --- 9. **Asymptote $\Delta$ :** La droite $\Delta : y = 2x - 1$. Calculons $$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (2x - 1)) = \lim_{x \to +\infty} (x - 1 + \sqrt{x^{2}+1} - 2x + 1) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^{2}+1} - x)$$ Or $$\sqrt{x^{2}+1} - x = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1} + x} \to 0$$ Donc $\Delta$ est asymptote oblique à $\zeta$ en $+\infty$. 10. **Équation de la tangente $T$ à $\zeta$ :** La tangente en $x = a$ est $$y = f'(a)(x - a) + f(a) = g(a)(x - a) + f(a)$$ 11. **Bijection de $f$ :** - $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc injective. - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, donc $f(\mathbb{R}) = [-1, +\infty[$. - $f$ réalise donc une bijection de $\mathbb{R}$ sur $J = [-1, +\infty[$. 12. **Calcul de $(f^{-1})'(\sqrt{2})$ :** Soit $y = f(x)$, alors $$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{g(x)}$$ Trouvons $x$ tel que $f(x) = \sqrt{2}$. On résout numériquement ou par estimation : Pour $x=0$, $f(0) = 0 - 1 + 1 = 0$. Pour $x=1$, $f(1) = 1 - 1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414$. Donc $f(1) = \sqrt{2}$, donc $x=1$. Calculons $g(1)$ : $$g(1) = 1 + \frac{1}{\sqrt{1+1}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$$ Donc $$(f^{-1})'(\sqrt{2}) = \frac{1}{g(1)} = \frac{2}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$$ 13. **Tracés :** - Tracer $\zeta$ (courbe de $f$) avec points en $x = -1$ et $x = 1$. - Tracer la droite $\Delta : y = 2x - 1$. - Tracer la tangente $T$ en un point choisi (par exemple $x=1$). --- **Réponse finale :** - $g'(x) = \frac{1}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}$. - $g$ est strictement croissante et $g(x) > 0$ pour tout $x$. - $f'(x) = g(x)$. - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1$ (asymptote horizontale). - $\Delta : y = 2x - 1$ est asymptote oblique en $+\infty$. - $f$ est bijection de $\mathbb{R}$ sur $[-1, +\infty[$. - $(f^{-1})'(\sqrt{2}) = 2 - \sqrt{2}$.