1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $g$ définie sur $]0,+\infty[$ par $$g(x) = x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1$$ Calculer les limites aux bornes de $D_g = ]0,+\infty[$. 2. **Calcul des limites aux bornes :** - Limite en $0^+$ : $$\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1\right) = +\infty$$ car $\frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$ quand $x \to 0^+$. - Limite en $+\infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1\right) = +\infty$$ car $x^2 \to +\infty$ domine. 3. **Dérivée de $g$ :** Montrer que pour tout $x \in ]0,+\infty[$, $$g'(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x\sqrt{x}}$$ Calcul : $$g(x) = x^2 + x^{-\frac{1}{2}} + 1$$ $$g'(x) = 2x - \frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} = 2x - \frac{1}{2x^{3/2}} = \frac{4x^{5/2} - 1}{2x^{3/2}} = \frac{3x^2 - 1}{2x\sqrt{x}}$$ 4. **Monotonie de $g$ :** - Étudier le signe de $g'(x)$ : $$g'(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x\sqrt{x}}$$ Le dénominateur est toujours positif sur $]0,+\infty[$. Le numérateur $3x^2 - 1$ est négatif si $x < \frac{1}{\sqrt{3}}$ et positif sinon. Donc : - $g$ est strictement décroissante sur $]0, \frac{1}{\sqrt{3}}]$ - $g$ est strictement croissante sur $[\frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty[$ 5. **Tableau de variations de $g$ :** | $x$ | $0^+$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $+\infty$ | |------|-------|-----------------------|-----------| | $g'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $g(x)$ | $+\infty$ | minimum | $+\infty$ | 6. **Signe de $g(x)$ :** Le minimum de $g$ est atteint en $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ : $$g\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}} + 1 = \frac{1}{3} + 3^{1/4} + 1 > 0$$ Donc $g(x) > 0$ pour tout $x \in ]0,+\infty[$. --- **Résumé :** - $\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty$ - $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ - $g'(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x\sqrt{x}}$ - $g$ décroissante sur $]0, \frac{1}{\sqrt{3}}]$, croissante sur $[\frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty[$ - $g(x) > 0$ sur $]0,+\infty[$