1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout $x \geq 0$, $|f'(x)| \leq \frac{1}{2}$. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|u_{n+1} - 1| \leq \frac{1}{2} |u_n - 1|$. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ quand $n \to +\infty$. 2. **Définition de la fonction :** $$f(x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + 3 - x + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 - x + 4}$$ 3. **Calcul de la dérivée $f'(x)$ :** On utilise la dérivée de $\sqrt{g(x)}$ qui est $\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$. Ici, $g(x) = x^2 - x + 4$, donc $$g'(x) = 2x - 1$$ Ainsi, $$f'(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x + 4}} = \frac{2x - 1}{4 \sqrt{x^2 - x + 4}}$$ 4. **Montrer que $|f'(x)| \leq \frac{1}{2}$ pour $x \geq 0$ :** On veut montrer $$\left| \frac{2x - 1}{4 \sqrt{x^2 - x + 4}} \right| \leq \frac{1}{2}$$ Ce qui équivaut à $$|2x - 1| \leq 2 \sqrt{x^2 - x + 4}$$ Élevons au carré (les deux membres sont positifs pour $x \geq 0$) : $$ (2x - 1)^2 \leq 4 (x^2 - x + 4) $$ Développons : $$4x^2 - 4x + 1 \leq 4x^2 - 4x + 16$$ Soustrayons $4x^2 - 4x$ des deux côtés : $$1 \leq 16$$ Ce qui est vrai. Donc, pour tout $x \geq 0$, $|f'(x)| \leq \frac{1}{2}$. 5. **En déduire l'inégalité sur la suite $(u_n)$ :** La suite est définie par $$u_{n+1} = f(u_n)$$ On sait que $1$ est un point fixe car $$f(1) = \frac{1}{2} \sqrt{1 - 1 + 4} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$$ Par le théorème des accroissements finis, il existe $c$ entre $u_n$ et $1$ tel que $$|u_{n+1} - 1| = |f(u_n) - f(1)| = |f'(c)||u_n - 1|$$ Comme $c \geq 0$, on a $$|f'(c)| \leq \frac{1}{2}$$ Donc $$|u_{n+1} - 1| \leq \frac{1}{2} |u_n - 1|$$ 6. **Déterminer la limite de $(u_n)$ :** L'inégalité montre que la distance entre $u_n$ et $1$ est contractée par un facteur au plus $\frac{1}{2}$ à chaque étape. Donc, $$\lim_{n \to +\infty} |u_n - 1| = 0$$ Ce qui implique $$\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$$ **Réponse finale :** Pour tout $x \geq 0$, $|f'(x)| \leq \frac{1}{2}$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|u_{n+1} - 1| \leq \frac{1}{2} |u_n - 1|$. La suite $(u_n)$ converge vers $1$ quand $n$ tend vers l'infini.