1. Énonçons le problème : Calculer la limite de la fonction $$f(n) = \frac{n^2 + 5n - 1}{3n^2 - 2}$$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\n\n2. Rappelons la règle importante pour les limites de fonctions rationnelles où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes :\n\n- Si les degrés du numérateur et du dénominateur sont égaux, la limite est le rapport des coefficients des termes de plus haut degré.\n- Si le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, la limite est 0.\n- Si le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur, la limite est $\pm \infty$.\n\n3. Ici, le degré du numérateur est 2 (car $n^2$ est le terme dominant) et le degré du dénominateur est aussi 2 (car $3n^2$ est le terme dominant).\n\n4. Exprimons la limite en isolant les termes dominants :\n$$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + 5n - 1}{3n^2 - 2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2(1 + \frac{5}{n} - \frac{1}{n^2})}{n^2(3 - \frac{2}{n^2})}$$\n\n5. Simplifions en divisant numérateur et dénominateur par $n^2$ :\n$$= \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{5}{n} - \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{2}{n^2}}$$\n\n6. Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, les termes $\frac{5}{n}$, $\frac{1}{n^2}$ et $\frac{2}{n^2}$ tendent vers 0.\n\n7. Donc la limite devient :\n$$= \frac{1 + 0 - 0}{3 - 0} = \frac{1}{3}$$\n\n8. Conclusion : La limite de la fonction lorsque $n$ tend vers $+\infty$ est $\frac{1}{3}$.