1. Énoncé du problème : Montrer que pour trois nombres réels positifs $x, y, z$ tels que $x + y + z = 1$, on a $$\sqrt{2x+1} + \sqrt{2y+1} + \sqrt{2z+1} \leq 4.$$ 2. Rappel et formule utile : On sait déjà que pour $x, y \geq 0$, l'inégalité de l'arithmétique et géométrique donne $$x + y \geq 2\sqrt{xy}.$$ Cette inégalité est souvent utilisée pour majorer ou minoriser des expressions impliquant des racines carrées. 3. Analyse de la fonction à majorer : Considérons la fonction $f(t) = \sqrt{2t + 1}$ définie pour $t \geq 0$. Calculons sa dérivée : $$f'(t) = \frac{2}{2\sqrt{2t+1}} = \frac{1}{\sqrt{2t+1}} > 0,$$ ce qui montre que $f$ est strictement croissante. 4. Convexité de $f$ : Calculons la dérivée seconde : $$f''(t) = -\frac{1}{2(2t+1)^{3/2}} < 0,$$ ce qui signifie que $f$ est concave sur $\mathbb{R}^+$. 5. Application de l'inégalité de Jensen : Puisque $f$ est concave, pour des poids positifs $\alpha, \beta, \gamma$ tels que $\alpha + \beta + \gamma = 1$, on a $$\alpha f(x) + \beta f(y) + \gamma f(z) \leq f(\alpha x + \beta y + \gamma z).$$ Ici, on prend $\alpha = \beta = \gamma = \frac{1}{3}$, donc $$\frac{\sqrt{2x+1} + \sqrt{2y+1} + \sqrt{2z+1}}{3} \leq \sqrt{2 \cdot \frac{x+y+z}{3} + 1}.$$ 6. Simplification avec la contrainte $x + y + z = 1$ : $$\frac{\sqrt{2x+1} + \sqrt{2y+1} + \sqrt{2z+1}}{3} \leq \sqrt{2 \cdot \frac{1}{3} + 1} = \sqrt{\frac{2}{3} + 1} = \sqrt{\frac{5}{3}}.$$ 7. Conclusion : On obtient $$\sqrt{2x+1} + \sqrt{2y+1} + \sqrt{2z+1} \leq 3 \sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{15} \approx 3.873 < 4,$$ ce qui est une majoration plus forte que $4$. Donc l'inégalité demandée est vérifiée : $$\sqrt{2x+1} + \sqrt{2y+1} + \sqrt{2z+1} \leq 4.$$