1. **Énoncé du problème :** On considère un espace vectoriel normé $E$ de dimension finie, c'est-à-dire $\dim E < +\infty$. On veut montrer que pour un sous-ensemble $K$ de $E$, $K$ est compact si et seulement si $K$ est fermé et borné. 2. **Rappel des définitions importantes :** - Un ensemble $K$ est **borné** s'il existe un réel $M > 0$ tel que pour tout $x \in K$, $\|x\| < M$. - Un ensemble $K$ est **fermé** s'il contient toutes ses limites, c'est-à-dire que toute suite convergente dans $K$ a sa limite dans $K$. - Un ensemble $K$ est **compact** s'il est à la fois fermé et totalement borné, ce qui en dimension finie revient à être fermé et borné. 3. **Propriété clé en dimension finie :** Dans un espace normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, et la compacité est équivalente à la fermeture et la bornitude. 4. **Démonstration :** - $(\Rightarrow)$ Si $K$ est compact, alors $K$ est fermé et borné. - La compacité implique la fermeture car la limite de toute suite convergente dans $K$ appartient à $K$. - La compacité implique la bornitude car un ensemble non borné ne peut pas être couvert par un nombre fini de boules de rayon fixé. - $(\Leftarrow)$ Si $K$ est fermé et borné, alors $K$ est compact. - En dimension finie, un ensemble borné est totalement borné. - Un ensemble fermé et totalement borné est compact. 5. **Conclusion :** Ainsi, dans un espace normé de dimension finie, un ensemble $K$ est compact si et seulement si $K$ est fermé et borné. **Résumé mathématique :** $$\dim E < +\infty \implies K \text{ compact } \iff K \text{ fermé et borné}.$$