1. Énonçons le problème : Montrer que la fonction $f(x) = \tan x - x$ est croissante sur l'intervalle $]0, \frac{\pi}{4}[$. 2. Pour étudier la croissance d'une fonction, on regarde le signe de sa dérivée. Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. 3. Calculons la dérivée de $f(x)$ : $$f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x) - \frac{d}{dx}(x) = \sec^2 x - 1$$ 4. Rappelons que $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, donc $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. 5. Simplifions $f'(x)$ : $$f'(x) = \sec^2 x - 1 = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x}$$ 6. Or, $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$, donc : $$f'(x) = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$$ 7. Sur l'intervalle $]0, \frac{\pi}{4}[$, $\tan x > 0$, donc $\tan^2 x > 0$. 8. Ainsi, $f'(x) > 0$ pour tout $x \in ]0, \frac{\pi}{4}[$, ce qui implique que $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. Réponse finale : La fonction $f(x) = \tan x - x$ est strictement croissante sur $]0, \frac{\pi}{4}[$ car sa dérivée $f'(x) = \tan^2 x$ est strictement positive sur cet intervalle.