1. Énoncé du problème 1 : On donne $g(x)=x^3+12x-2$ et $f(x)=\frac{x^3+1}{x^2+4}$, on suppose $g(\alpha)=0$ avec $0<\alpha<1$ et l'on veut montrer que $f'(x)=\frac{x\,g(x)}{(x^2+4)^2}$ et que $f(\alpha)=\frac{3-12\alpha}{\alpha^2+4}$. 2. Formule utilisée : pour $f=\frac{u}{v}$ on a $$f'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$. 3. Calcul préparatoire : poser $u(x)=x^3+1$ et $v(x)=x^2+4$. 4. Dérivées élémentaires : $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=2x$. 5. Application de la formule du quotient : $$f'(x)=\frac{3x^2(x^2+4)-2x(x^3+1)}{(x^2+4)^2}$$. 6. Simplification du numérateur : $N(x)=3x^4+12x^2-2x^4-2x = x^4+12x^2-2x$. 7. Factorisation : $N(x)=x(x^3+12x-2)=x\,g(x)$. 8. Conclusion dérivée : donc $f'(x)=\frac{x\,g(x)}{(x^2+4)^2}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. 9. Évaluation en $\alpha$ : si $g(\alpha)=0$ alors $\alpha^3+12\alpha-2=0$ et $\alpha^3=2-12\alpha$. 10. Calcul de $f(\alpha)$ : $f(\alpha)=\frac{\alpha^3+1}{\alpha^2+4}=\frac{(2-12\alpha)+1}{\alpha^2+4}=\frac{3-12\alpha}{\alpha^2+4}$. 11. Remarque pédagogique : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car $u$ et $v$ sont polynômes et $v(x)=x^2+4\neq0$ pour tout $x$, 12. Énoncé du problème 2 : On donne $f(x)=\frac{1}{x-1}-\sqrt{x}$ et la fonction auxiliaire $g(x)=1+\frac{1}{\sqrt{x}}$, on considère $\beta\in ]1,2[$ avec $g(\beta)=\beta$ et l'on veut montrer que $|g'(x)|\le\frac{1}{2}$ sur $]1,2[$ et que $|g(x)-\beta|\le\frac{1}{2}|x-\beta|$. 13. Calcul de la dérivée de $g$ : pour $x>0$ on a $g'(x)=-\frac{1}{2}x^{-3/2}=-\frac{1}{2x^{3/2}}$. 14. Majorant de la valeur absolue : pour $x\in ]1,2[$ on a $x^{3/2}\ge1$ donc $|g'(x)|=\frac{1}{2x^{3/2}}\le\frac{1}{2}$. 15. Image de l'intervalle : pour $x\in ]1,2[$ on a $1+\frac{1}{\sqrt{2}}