1. Énoncé : Vérifier si \(\iint_{\Omega} (1 - x^2/a^2 - y^2/b^2)\,dx\,dy = \frac{\pi a b}{2}\) pour \(\Omega=\{x^2/a^2 + y^2/b^2 \le 1\}\). Formule : L'intégrale d'une fonction radiale sur une ellipse peut se transformer en coordonnées polaires adaptées. Calcul : En posant \(x = a r \cos \theta\), \(y = b r \sin \theta\), avec \(r \in [0,1]\), \(\theta \in [0,2\pi]\), le jacobien est \(ab r\). L'intégrale devient : $$\int_0^{2\pi} \int_0^1 (1 - r^2) ab r \, dr \, d\theta = ab \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (r - r^3) dr = ab (2\pi) \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = 2\pi ab \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{\pi ab}{2}.$$ Donc la réponse est Vrai. 2. Énoncé : Sur le cercle unité orienté positivement, on peut prendre \(\gamma(t) = (\cos t, \sin t)\) pour \(t \in [0, 2\pi]\). Ceci est la paramétrisation standard du cercle unité avec orientation positive (sens anti-horaire). Réponse : Vrai. 3. Énoncé : La formule de Green dépend de l’orientation positive (sens direct). La formule de Green nécessite que le contour soit orienté positivement (sens anti-horaire) pour que l'égalité soit correcte. Réponse : Vrai. 4. Énoncé : Avec \(x=au, y=bv\), \(\iint_U f(x,y)\,dx\,dy = ab \iint_{u^2+v^2 \le 1} f(au,bv)\,du\,dv\). C'est la formule du changement de variables avec jacobien \(ab\). Réponse : Vrai. 5. Énoncé : La fonction \(1/(x^2 + y^2)\) est localement intégrable en 2D. Cette fonction a une singularité non intégrable en \((0,0)\) en dimension 2, donc elle n'est pas localement intégrable. Réponse : Faux. 6. Énoncé : La matrice jacobienne du gradient d’une fonction \(\mathcal{C}^2\) est symétrique. Le gradient est un vecteur, sa jacobienne est la matrice Hessienne, qui est symétrique si \(f\) est \(\mathcal{C}^2\). Réponse : Vrai. 7. Énoncé : Calculer \(V = \iint_{\Omega} (1 - x^2 - 2 y^2)\,dx\,dy\) avec \(\Omega = \{x^2 + 2 y^2 \le 1\}\). Changement de variables : \(x = u\), \(y = v/\sqrt{2}\) pour avoir \(u^2 + v^2 \le 1\). Jacobian : \(dy = dv / \sqrt{2}\), donc \(dx dy = du dv / \sqrt{2}\). L'intégrale devient : $$V = \int_{u^2 + v^2 \le 1} \left(1 - u^2 - v^2\right) \frac{1}{\sqrt{2}} du dv = \frac{1}{\sqrt{2}} \iint_{u^2 + v^2 \le 1} (1 - u^2 - v^2) du dv.$$ En coordonnées polaires : $$= \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{2\pi} \int_0^1 (1 - r^2) r dr d\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} (2\pi) \int_0^1 (r - r^3) dr = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{\pi}{\sqrt{2}}.$$ Réponse : \(V = \frac{\pi}{\sqrt{2}}\). 8. Énoncé : Pour \(\iint \frac{1}{(x+y)^2} dx dy\) sur \(\{x \ge 1, y \ge 1, x+y \le 3\}\), un bon changement est : Le changement \(u = x + y, v = x - y\) simplifie le dénominateur. Réponse : c. 9. Énoncé : Calculer \(I = \iint_U x y \, dx dy\) avec \(U = \{x \ge 0, y \ge 0, x + y \le 1\}\). Intégrale sur triangle dans le premier quadrant. Calcul : $$I = \int_0^1 \int_0^{1 - x} x y \, dy \, dx = \int_0^1 x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{1 - x} dx = \int_0^1 x \frac{(1 - x)^2}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x (1 - 2x + x^2) dx = \frac{1}{2} \int_0^1 (x - 2x^2 + x^3) dx.$$ Calcul des intégrales : $$= \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{6}{12} - \frac{8}{12} + \frac{3}{12} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{24}.$$ Réponse : \(I = \frac{1}{24}\). 10. Énoncé : Pour transformer un triangle \(ABC\) en triangle de référence \(\hat{T}\), on utilise : Une application affine avec jacobien constant est utilisée pour transformer un triangle en un autre. Réponse : b. 11. Énoncé : Par \(x=au, y=bv\), on obtient \(V = ab \iint_{u^2 + v^2 \le 1} (1 - u^2 - v^2) du dv\). C'est correct, car le jacobien est \(ab\) et la fonction s'exprime en \(u,v\). Réponse : Vrai. 12. Énoncé : Soit \(U = \{x^2/4 + y^2 \le 1\}\). Calculer \(I = \iint_U |x y| dx dy\). Changement : \(x = 2u, y = v\), domaine \(u^2 + v^2 \le 1\), jacobien \(2\). Donc $$I = \int_{u^2 + v^2 \le 1} |2u \cdot v| \cdot 2 du dv = 4 \int_{u^2 + v^2 \le 1} |u v| du dv.$$ Par symétrie, on peut intégrer sur le quart de disque et multiplier par 4 : $$I = 4 \times 4 \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1 - u^2}} u v dv du = 16 \int_0^1 u \left[ \frac{v^2}{2} \right]_0^{\sqrt{1 - u^2}} du = 16 \int_0^1 u \frac{1 - u^2}{2} du = 8 \int_0^1 (u - u^3) du = 8 \left[ \frac{u^2}{2} - \frac{u^4}{4} \right]_0^1 = 8 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = 8 \times \frac{1}{4} = 2.$$ Réponse : \(I = 2\). 13. Énoncé : Pour \(I = \iint_{x^2 + y^2 \le 1} \frac{1}{1 + x^2 + y^2} dx dy\), en polaires on obtient : En coordonnées polaires \(x = \rho \cos \theta, y = \rho \sin \theta\), jacobien \(\rho\). L'intégrale devient : $$\int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{1}{1 + \rho^2} \rho d\rho d\theta,$$ Réponse : a. 14. Énoncé : Toute fonction continue sur un domaine borné est intégrable (Riemann). C'est vrai, toute fonction continue sur un compact est Riemann-intégrable. Réponse : Vrai. 15. Énoncé : Sur un domaine borné, l’intégrale d’une fonction bornée est finie. C'est vrai, car la fonction bornée sur un domaine de mesure finie a une intégrale finie. Réponse : Vrai. 16. Énoncé : Aire de l’ellipse \(x^2/4 + y^2/9 \le 1\). Formule aire ellipse : \(\pi a b\) avec \(a=2\), \(b=3\). Donc aire = \(\pi \times 2 \times 3 = 6 \pi\). Réponse : \(6 \pi\). 17. Énoncé : Pour un gradient \(\nabla f\), la circulation sur un fermé \(C\) : La circulation d'un champ gradient sur un chemin fermé est nulle. Réponse : d. 18. Énoncé : Tout domaine borné du plan possède une aire (mesure finie). C'est vrai, un domaine borné a une aire finie. Réponse : Vrai. 19. Énoncé : La formule de Green relie : Elle relie \(\iint (\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y) dx dy\) et \(\oint P dx + Q dy\). Réponse : c. 20. Énoncé : Sur le disque unité, \(\iint xy dx dy = 0\) par symétrie. La fonction \(xy\) est impaire par rapport aux axes, donc intégrale nulle. Réponse : Vrai.