1. **Détermination de l'ensemble de définition de $f$** L'ensemble de définition $D_f$ est l'ensemble des réels pour lesquels le dénominateur $(x-2)^2$ n'est pas nul. Donc, $$D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$$ 2.a) **Calcul des limites à gauche et à droite en $x=2$** On cherche $$\lim_{x \to 2^-} f(x) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 2^+} f(x)$$ Étant donné la présence de $(x-2)^2$ au dénominateur, qui tend vers 0 positivement, la limite dépendra du signe de $P(x)$, numérateur. Supposons $P(2) \neq 0$, alors - Au voisinage de 2, $(x-2)^2 \to 0^+$. - Si $P(2)>0$, alors $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$$ - Si $P(2)<0$, alors $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$$ L'interprétation: $x=2$ est une asymptote verticale. 2.b) **Limites en $-\infty$ et $+\infty$** La forme rationnelle est de degré de $P(x)$ sur 2 car le dénominateur est de degré 2. - Si $\deg P < 2$, alors $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0$$ - Si $\deg P = 2$, les limites sont les rapports des coefficients principaux. 3. **Démonstration que $f(x) = \frac{P(x)}{(x-2)^2}$** C'est donné et posé, donc c'est la forme générale du problème. 4. **Étude des variations de $f$** - Trouver $f'(x)$ en utilisant la dérivation d'un quotient: $$f'(x) = \frac{P'(x)(x-2)^2 - P(x) 2 (x-2)}{(x-2)^4}$$ - Étudier le signe de $f'(x)$ sur $D_f$ - En déduire les intervalles de croissance ou décroissance - Construire le tableau de variations en indiquant les limites aux bornes et les valeurs aux points critiques. 5.a) **Trouver $a, b, c$ tels que** $$f(x) = \frac{a x + b + c}{x-2}$$ Il semble y avoir une erreur de transcription, probablement $f(x) = \frac{a x^2 + b x + c}{(x-2)^2}$ ou bien $f(x) = \frac{a x + b}{x-2} + c$. Sinon on procède par décomposition en éléments simples. 5.b) **Démontrer que $y = -3x + 2$ est asymptote oblique en $\pm \infty$** - Calculer $$\lim_{x \to \pm \infty} \left(f(x) - (-3x + 2)\right)$$ - Si cette limite est 0, alors $y = -3x + 2$ est asymptote oblique. **Résumé**: L'analyse des limites à $x=2$ montre une asymptote verticale. L'étude des limites à $\pm \infty$ et la dérivation permettent de préciser le comportement de $f$ et ses variations. Le tableau des variations inclut ces informations. La recherche des coefficients et la vérification de l'asymptote oblique complète l'étude.