📘 analyse

1. Le problème est de trouver le développement limité en 0 à l'ordre 3 de la fonction $f(x) = \cos x \cdot e^x$.\n\n2. Rappel des développements limités en 0 jusqu'à l'ordre 3:\n-

1. Énonçons le problème : Étudier la limite \(\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\) avec \(x \geq 2\) et vérifier la continuité de la fonction \(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\)

1. Énonçons le problème : Calculer l’intégrale de $t^2$ entre $k$ et $k+1$. 2. L'intégrale à calculer est $$\int_k^{k+1} t^2 \, dt$$.

1. Énonçons le problème : on cherche la fonction réciproque de la fonction $$f(x) = 2\sqrt{7\sqrt{x^2 + 6}}$$. 2. Soit $$y = f(x) = 2\sqrt{7\sqrt{x^2 + 6}}$$.

1. **Énoncé du problème :** On a une fonction $h$ définie par morceaux sur $\mathbb{R}$ : $$ h(x) = \begin{cases} \frac{x + 7}{x + 1} & \text{si } x \geq 1 \\

1. Énonçons le problème : Trouver la limite lorsque $x \to +\infty$ de la fonction $f(x) = \sqrt{x - 1} - 1$.\n\n2. Examinons la fonction : quand $x$ devient très grand, la racine

1. Énoncé : On étudie la fonction $f_n$ définie sur $]0; +\infty[$ par $$f_n(x) = \frac{1}{x} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^n.$$ 2. Pour $n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}$, on veu

1. Énonçons le problème : Calculer la limite de la fonction $$\lim_{x \to 1} \frac{1 + x - 1}{\sqrt{x^2 - 1}}$$

1. Une fonction paire est définie par $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ dans le domaine de $f$. Son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. 2. Une fonction impaire est

1. Énonçons le problème : apprendre à faire un développement limité en utilisant la formule de Young. 2. La formule de Young s'exprime pour une fonction $f$ suffisamment dérivable

1. Énoncé du problème : Étudier la suite $(U_n)$ définie par $$\begin{cases} U_0=2 \\ U_{n+1} = \frac{U_n^2 - U_n + 3}{U_n} \end{cases}$$

1. Énoncé du problème : On considère la suite $(U_n)$ définie par $U_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $$U_{n+1} = \frac{U_n^2 - U_n + 3}{U_n}.$$

1. Énoncé du problème : Calculer la limite $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 3}}{x + 1}$$. 2. Simplifions l'expression sous la racine et mettons en facteur $x^2$ pour facili

1. Énonçons le problème : Montrer que la suite $a_n = \frac{n \sin(n)}{2n + 2 + \sin(n)}$ est bornée. 2. Observons le numérateur et le dénominateur :

1. Énonçons le problème : Il faut calculer la somme de la série infinie $$\sum_{n > 0} n^2 \cdot z^n$$ où $z$ est une variable complexe ou réelle, et cette série converge lorsque $

1. **Calculer les limites données :** - Limite 1 : $$\lim_{x \to 3^-} \frac{x-3}{x-3}$$\

**Exercice 1 : Continuité et limites** 1. Étudier la continuité de la fonction $f$ en $a$.

1. Énonçons le problème : résolvons la limite par la méthode demandée. 2. Comme l'utilisateur ne précise pas la fonction ni la limite, présumons une forme typique, par exemple $\li

1. Le problème est de résoudre une limite indéterminée sans utiliser la règle de l'Hôpital, avec une méthode plus simple. 2. Identifiez la forme de la limite, par exemple si elle e

1. Énonçons le problème : \nCalculer la limite lorsque $n$ tend vers l'infini positif de l'expression $$ (n + 1) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n+1} $$ .\n\n2. Analysons la base

1. **Énoncé du problème :** Soit la série entière $$\sum_{n\geq 2} \frac{(-1)^n x^n}{n(n-1)}$$ où $$x \in \mathbb{R}$$.