1. Énonçons le problème : Calculer l’intégrale de $t^2$ entre $k$ et $k+1$. 2. L'intégrale à calculer est $$\int_k^{k+1} t^2 \, dt$$. 3. Trouvons la primitive de $t^2$, qui est $$\frac{t^3}{3}$$. 4. Appliquons le théorème fondamental du calcul en évaluant la primitive aux bornes $k+1$ et $k$ : $$\left[\frac{t^3}{3}\right]_k^{k+1} = \frac{(k+1)^3}{3} - \frac{k^3}{3}$$. 5. Simplifions l'expression : $$\frac{(k+1)^3 - k^3}{3} = \frac{k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k^3}{3} = \frac{3k^2 + 3k + 1}{3}$$. 6. Résultat final : $$\int_k^{k+1} t^2 \, dt = k^2 + k + \frac{1}{3}$$. La valeur de l’intégrale de $t^2$ entre $k$ et $k+1$ est donc $k^2 + k + \frac{1}{3}$.