1. **Énoncé du problème :** On a une fonction $h$ définie par morceaux sur $\mathbb{R}$ : $$ h(x) = \begin{cases} \frac{x + 7}{x + 1} & \text{si } x \geq 1 \\ \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} & \text{si } x < 1 \end{cases} $$ On veut montrer que $h$ est continue en $1$, puis que $h$ est continue sur $\mathbb{R}$. 2. **Continuité en $1$ :** - Calculons $h(1)$ à partir de la définition pour $x \geq 1$ : $$ h(1) = \frac{1 + 7}{1 + 1} = \frac{8}{2} = 4 $$ - Calculons la limite à gauche $\lim_{x \to 1^-} h(x)$ avec la définition pour $x < 1$ : On factorise le numérateur : $$ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) $$ Donc, $$ h(x) = \frac{(x + 3)(x - 1)}{x - 1} $$ Pour $x \neq 1$, simplification donne : $$ h(x) = x + 3 $$ Donc, $$ \lim_{x \to 1^-} h(x) = 1 + 3 = 4 $$ - Calculons la limite à droite $\lim_{x \to 1^+} h(x)$ avec la définition pour $x \geq 1$ : $$ \lim_{x \to 1^+} \frac{x + 7}{x + 1} = \frac{1 + 7}{1 + 1} = 4 $$ - Comme $h(1) = 4 = \lim_{x \to 1^-} h(x) = \lim_{x \to 1^+} h(x)$, la fonction $h$ est continue en $1$. 3. **Continuité sur $\mathbb{R}$ :** - La fonction est définie par morceaux avec deux expressions rationnelles. - Pour $x < 1$, l'expression est simplifiable à $h(x) = x + 3$ pour $x \neq 1$, ce qui est une fonction polynomiale, donc continue sur $]-\infty, 1[$. - Pour $x \geq 1$, c'est la fonction rationnelle $\frac{x + 7}{x + 1}$ qui est continue sur $[1, +\infty)$ car le dénominateur est $x + 1 > 0$ pour $x \geq 1$. - On a montré la continuité en $1$. - Donc, $h$ est continue sur $\mathbb{R}$. **Réponse finale :** La fonction $h$ est continue en $1$ et continue sur $\mathbb{R}$.