1. Énonçons le problème : \nCalculer la limite lorsque $n$ tend vers l'infini positif de l'expression $$ (n + 1) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n+1} $$ .\n\n2. Analysons la base de la puissance : $\left| -\frac{1}{\sqrt{2}} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$. Cela signifie que la partie $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n+1}$ tend vers 0 lorsque $n \to +\infty$.\n\n3. Toutefois, la présence du facteur $(n+1)$ pourrait influencer la limite, car il tend lui vers l'infini. Nous devons étudier la limite de $$ (n+1) \cdot r^{n+1} $$ avec $r = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.\n\n4. En valeur absolue, la limite est équivalente à celle de $$ (n+1) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n+1} $$ . Puisque $0 < \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$, $r^{n+1}$ décroît exponentiellement plus vite que $n+1$ ne croît linéairement.\n\n5. Par la règle d'Hôpital ou comparaison directe, on sait que $$ \lim_{n \to +\infty} n r^{n} = 0 $$ pour $|r| < 1$. Donc, notre limite vaut 0.\n\n6. En conclusion, $$ \boxed{0} $$ est la limite souhaitée.