1. Énonçons le problème : Il faut calculer la somme de la série infinie $$\sum_{n > 0} n^2 \cdot z^n$$ où $z$ est une variable complexe ou réelle, et cette série converge lorsque $|z|<1$. 2. Rappelons d'abord la formule pour la série géométrique : $$\sum_{n=0}^{\infty} z^n = \frac{1}{1-z}$$ pour $|z|<1$. 3. Pour obtenir la somme avec $n^2$, nous utilisons la dérivation par rapport à $z$ de la série géométrique. D'abord, considérons : $$S(z) = \sum_{n=0}^\infty z^n = \frac{1}{1-z}$$ 4. La première dérivée donne : $$S'(z) = \sum_{n=1}^\infty n z^{n-1} = \frac{1}{(1-z)^2}$$ 5. Multiplions par $z$ pour avoir $n z^n$ : $$z S'(z) = \sum_{n=1}^\infty n z^n = \frac{z}{(1-z)^2}$$ 6. Maintenant, dérivons de nouveau pour obtenir $n^2$ termes : $$\frac{d}{dz}[z S'(z)] = \sum_{n=1}^\infty n^2 z^{n-1} = \frac{d}{dz} \left( \frac{z}{(1-z)^2} \right)$$ 7. Calculons la dérivée à droite : $$\frac{d}{dz} \left( \frac{z}{(1-z)^2} \right) = \frac{(1-z)^2 - z \cdot 2(1-z)(-1)}{(1-z)^4} = \frac{(1-z)^2 + 2z(1-z)}{(1-z)^4}$$ Simplifions le numérateur : $$(1-z)^2 + 2z(1-z) = (1 - 2z + z^2) + (2z - 2z^2) = 1 - 2z + z^2 + 2z - 2z^2 = 1 - z^2$$ 8. Donc, $$\frac{d}{dz}[z S'(z)] = \frac{1 - z^2}{(1-z)^4}$$ 9. Ainsi, $$\sum_{n=1}^\infty n^2 z^{n-1} = \frac{1 - z^2}{(1-z)^4}$$ 10. Multiplions par $z$ pour obtenir la somme initiale : $$\sum_{n=1}^\infty n^2 z^n = z \cdot \frac{1 - z^2}{(1-z)^4} = \frac{z (1 - z^2)}{(1-z)^4}$$ 11. Le résultat final est donc : $$\boxed{\sum_{n=1}^\infty n^2 z^n = \frac{z(1 + z)}{(1 - z)^3}}$$ Car $1 - z^2 = (1 - z)(1 + z)$, alors en simplifiant une puissance $(1 - z)$ au numérateur et dénominateur : $$\frac{z (1 - z)(1 + z)}{(1-z)^4} = \frac{z (1 + z)}{(1-z)^3}$$ 12. Conclusion : Pour $|z| < 1$, la somme converge et vaut $$\sum_{n=1}^\infty n^2 z^n = \frac{z (1 + z)}{(1 - z)^3}$$