📘 analyse

1. Problème a) : minimiser $f(x) = x^4 - x + 1$ sous contrainte $|x| \leq 1$.\n- L'ensemble $\{x : |x| \leq 1\}$ est fermé et borné (compact).\n- $f$ est continue.\n- Par le théorè

1. Énoncé du problème : Étudier la continuité de la fonction $f$ définie par : $$f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 3x & \text{si } x < -1 \\ x^2 + 4 & \text{si } -1 \leq x < 1 \\ \sqrt{x

1. Énoncé du problème : On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ et $u_{n+1} = (1 + \sqrt{3}) - \frac{\sqrt{3}}{u_n}$ pour tout $

1. **Énoncé du problème:** Nous étudions les fonctions $f(x) = x^3 + 3x - 1$ et $g(x) = x^3 + 3x - 3$, définies sur $\mathbb{R}$.

1. Le problème demande de tracer les tableaux de variations des fonctions $u$ et $v$. 2. Pour cela, il est indispensable de connaître les expressions des fonctions $u$ et $v$, ains

1. Énonçons le problème. Soit la fonction définie par:

1. Énoncé du problème : Étudier le domaine de définition, la continuité et déterminer certaines valeurs des fonctions f et g définies par morceaux.

1. **Énoncé** : Déterminer les limites éventuelles en 0 des fonctions données dans l'exercice 1.\n 2. **Exercice 1a** : $f(x) = \frac{3x}{\sin(5x)}$\n

1. **Étudier les variations de la fonction $g$ définie par $g(x) = x^3 + 3x + 8$.** Calculons la dérivée : $$g'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1).$$

**Problème 8 - Partie A et B** **PARTIE A : Étude de la fonction $g(x) = x - 2 - (x - 3)\ln(x - 3)$ définie sur $]3; +\infty[$**

1. Calculer la limite de chaque suite donnée. 1. $u_n = \frac{n^2 + 2}{n^2 - 1}$

1. Calculons $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos x} \cdot \sqrt[3]{\cos x}}{\sin^2 x}$$.\n\nPour des petites valeurs de $x$, $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$. Donc:\n$$\sqrt{\cos x

1. Énonçons le problème : Calculer la limite d'une fonction ou d'une expression algébrique donnée en appliquant toutes les étapes nécessaires. 2. Identifier la limite à calculer, p

1. Énonçons le problème : développer une limite implique souvent d'identifier la forme indéterminée, puis choisir la méthode adaptée (somme, produit, quotient, changement de variab

1. Énoncé: Soit la fonction $f$ définie sur $E = ]-\infty; c[$ par $f(m) = m \sqrt{m^2 - 1}$. 2. Calcul de $f(m)$:

1. Énoncé du problème : Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction $f$ définie par $$

1. Le problème consiste à étudier la fonction $f$ définie par : $$f(x) = x - 3 + \frac{x}{(\sqrt{x} - 1)^2}$$

1. Énoncé du problème : Calculer les limites de la fonction $$f(x) = x - 3 + \frac{x}{(\sqrt{x} - 1)^2}$$ en $$x \to -\infty$$ et en $$x \to 1$$. 2. Calcul de $$\lim_{x \to -\infty

1. Énoncé du problème : Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$u_n = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \cdots + \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}, \quad n \geq 1.$$ 2. Montrons que

### Exercice 1 : expliciter la somme partielle et donner la nature des séries numériques 1. Soit $u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$, $n \in \mathbb{N}^*$.

1. Calcul des limites : - $$\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{10+x}+3x}{x^2+4x+3} = \frac{\sqrt{11}+3}{1+4+3} = \frac{\sqrt{11}+3}{8}$$