1. Énonçons le problème : apprendre à faire un développement limité en utilisant la formule de Young. 2. La formule de Young s'exprime pour une fonction $f$ suffisamment dérivable au point 0 comme suit : $$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$$ 3. Cela signifie qu'on peut approximer $f(x)$ près de 0 par un polynôme dont les coefficients sont les dérivées successives de $f$ en 0 divisées par la factorielle de leur ordre. 4. Voici un quiz avec 2 questions pour pratiquer. **Question 1:** Trouvez le développement limité de ordre 3 en 0 de la fonction $f(x) = e^x$. 5. Solution étape par étape : - $f(0) = e^0 = 1$ - $f'(x) = e^x$, donc $f'(0) = 1$ - $f''(x) = e^x$, donc $f''(0) = 1$ - $f^{(3)}(x) = e^x$, donc $f^{(3)}(0) = 1$ Donc : $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$ **Question 2:** Trouvez le développement limité de ordre 2 en 0 de $f(x) = \ln(1+x)$. 6. Solution étape par étape : - $f(0) = \ln(1) = 0$ - $f'(x) = \frac{1}{1+x}$, donc $f'(0) = 1$ - $f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$, donc $f''(0) = -1$ Donc : $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$ Ces exercices montrent comment calculer les dérivées successives, les évaluer en 0, puis utiliser la formule de Young pour obtenir le développement limité.