1. Énonçons le problème : Étudier la limite \(\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\) avec \(x \geq 2\) et vérifier la continuité de la fonction \(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\) à droite en \(x=2\). 2. Observons que la forme directe donne \(\frac{\sqrt{4}-2}{2-2} = \frac{2-2}{0} = \frac{0}{0}\), forme indéterminée. Il faut donc simplifier. 3. Multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur : $$\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} \times \frac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{(\sqrt{x+2})^2 - 4}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \frac{x+2 - 4}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}.$$ 4. Simplifions par \(x-2\) (pour \(x \neq 2\)): $$\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x+2}+2}.$$ 5. Calculons la limite à droite en \(x=2\) : $$\lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}.$$ 6. Définissons \(f(2)\) pour étudier la continuité : Pour que \(f\) soit continue à droite en 2, il faut que \(f(2) = \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \frac{1}{4}\). 7. Conclusion : - La limite à droite en \(x=2\) existe et vaut \(\frac{1}{4}\). - Si on définit \(f(2) = \frac{1}{4}\), \(f\) est continue à droite en \(x=2\). Réponse finale : \(\lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} = \frac{1}{4}\) et \(f\) est continue à droite en \(2\) si on pose \(f(2) = \frac{1}{4}\).