1. Énonçons le problème : Montrer que la suite $a_n = \frac{n \sin(n)}{2n + 2 + \sin(n)}$ est bornée. 2. Observons le numérateur et le dénominateur : - Le numérateur est $n \sin(n)$. - Le dénominateur est $2n + 2 + \sin(n)$. 3. Examinons les bornes de $\sin(n)$ : - On sait que $-1 \leq \sin(n) \leq 1$ pour tout $n$. 4. Évaluons le comportement asymptotique : - Quand $n$ est grand, le terme $2n$ domine dans le dénominateur. - Le terme $\sin(n)$ dans le numérateur varie entre $-1$ et $1$, mais est multiplié par $n$. 5. Mettons la suite sous une forme plus exploitable : $$a_n = \frac{n \sin(n)}{2n + 2 + \sin(n)} = \frac{n \sin(n)}{2n + (2 + \sin(n))}$$ 6. Factorisons $n$ au dénominateur : $$a_n = \frac{n \sin(n)}{n \left(2 + \frac{2 + \sin(n)}{n}\right)} = \frac{n \sin(n)}{n \left(2 + \frac{2 + \sin(n)}{n}\right)}$$ 7. Simplifions par $n$ (valable pour $n > 0$) : $$a_n = \frac{\sin(n)}{2 + \frac{2 + \sin(n)}{n}}$$ 8. Comme $n \to \infty$, $\frac{2 + \sin(n)}{n} \to 0$, donc : $$a_n \approx \frac{\sin(n)}{2}$$ 9. Puisque $\sin(n)$ est toujours entre $-1$ et $1$, alors $$-\frac{1}{2} \leq a_n \leq \frac{1}{2}$$ 10. Par conséquent, la suite $a_n$ est bornée par $-\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$. Réponse finale : La suite $(a_n)$ est bornée car $$\left|a_n\right| \leq \frac{1}{2}$$ pour tout $n \geq 0$.