1. **Calculer les limites données :** - Limite 1 : $$\lim_{x \to 3^-} \frac{x-3}{x-3}$$\ Ici, pour $x \to 3^-$, $x-3$ est proche de 0 négatif. \Pour $x \neq 3$, on peut simplifier $$\frac{x-3}{x-3} = 1.$$\ Donc $$\lim_{x \to 3^-} \frac{x-3}{x-3} = 1.$$\ - Limite 2 : $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^3 + x^2 + 2} - 2x$$\ Factoriser par $x^{3/2}$ sous la racine : $$= \lim_{x \to +\infty} x^{3/2} \sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}} - 2x$$\ Diviser par $x$ : $$= \lim_{x \to +\infty} x \left(\sqrt{x + 1 + \frac{2}{x^2}} - 2\right) $$\ Pour $x$ grand, on développe : $$ \sqrt{x^3 + ...} \sim x^{3/2} $$\ On peut raffiner en rationalisant : $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x^3 + x^2 + 2} - 2x)(\sqrt{x^3 + x^2 + 2} + 2x)}{\sqrt{x^3 + x^2 + 2} + 2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + x^2 + 2 - 4x^2}{\sqrt{x^3 + x^2 + 2} + 2x}$$\ Simplifions le numérateur : $$x^3 + x^2 +2 -4x^2 = x^3 -3x^2 + 2$$\ Divisons numérateur et dénominateur par $x^2$ : $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{x - 3 + \frac{2}{x^2}}{\frac{\sqrt{x^3 + x^2 +2}}{x^2} + \frac{2x}{x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x -3 + o(1)}{\frac{\sqrt{x^3 + x^2 + 2}}{x^2} + \frac{2}{x}}$$\ Au dénominateur, $$\frac{\sqrt{x^3 + x^2 +2}}{x^2} = \frac{x^{3/2} \sqrt{1+ \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}}}{x^2} = \frac{1}{x^{1/2}} \to 0,$$ ainsi dénominateur tend vers 0 + 0 = 0, le numérateur tend vers $+\infty$ aussi. Donc limite $= +\infty.$\ - Limite 3 : $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + 2} - x$$\ Factoriser par $x$ : $$= \lim_{x \to +\infty} x \left( \sqrt[3]{1 + \frac{2}{x^3}} - 1\right)$$\ Développons la racine cubique autour de 1 : $$\sqrt[3]{1 + h} \approx 1 + \frac{h}{3}$$ pour $h \to 0$, ici $h= \frac{2}{x^3}.$\ Donc $$ \sqrt[3]{1 + \frac{2}{x^3}} - 1 \approx \frac{2}{3x^3}$$\ Ainsi $$ x \left( \frac{2}{3x^3} \right) = \frac{2}{3x^2} \to 0.$$\ Donc $$\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + 2} - x = 0.$$\ 2. **Calcul des dérivées :**\ - Pour $h(x) = \cos(7 + 5x)$, la dérivée est $$h'(x) = -\sin(7 + 5x) \times 5 = -5 \sin(7 + 5x).$$\ - Pour $f(x) = \cos(x)(7 + 5x)$, utiliser la dérivée d'un produit : $$f'(x) = -\sin(x)(7 + 5x) + \cos(x) \times 5 = - (7+5x) \sin(x) + 5 \cos(x).$$\ - Pour $g(x) = \sqrt[4]{x^2 - 6x + 2} = (x^2 - 6x +2)^{1/4}$, on a $$g'(x) = \frac{1}{4} (x^2 - 6x + 2)^{-3/4} (2x -6) = \frac{2x - 6}{4 (x^2 - 6x + 2)^{3/4}}.$$\ 3. **Étude de la fonction $f(x) = x^3 + x -1$ :**\ 1- Dérivée : $$f'(x) = 3x^2 + 1 > 0 \quad \forall x,$$ Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.\ 2- Puisque $f$ est continue et strictement croissante, et \(f(0) = -1 < 0\), \(f(1) = 1 + 1 -1 = 1 > 0\), par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution $\alpha \in ]0,1[$ telle que $f(\alpha) = 0$.\ 3- Encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0.25 : Tester valeurs : - $f(0.25) = (0.25)^3 + 0.25 - 1 = 0.015625 + 0.25 -1 = -0.734375 < 0$\ - $f(0.5) = 0.125 + 0.5 -1 = -0.375 < 0$\ - $f(0.75) = 0.422 + 0.75 -1= 0.172 > 0$\ Donc $\alpha \in [0.5, 0.75]$, amplitude $0.25$.\ 4- Signe de $f(x)$ : comme $f$ strictement croissante avec racine $\alpha$,\ - Pour $x < \alpha$, $f(x) < 0$.\ - Pour $x > \alpha$, $f(x) > 0$.\ 5- Montrer que $\alpha = \sqrt[3]{1 - \alpha}$ : Partir de $f(\alpha) = \alpha^3 + \alpha - 1 = 0$ \Rightarrow $\alpha^3 = 1 - \alpha$. Ainsi $$\alpha = \sqrt[3]{1 - \alpha}.$$\ 4. **Exercice 3, fonction $g(x) = x + 2 - 4\sqrt{x} + 3$ (devrait être $g(x) = x + 2 - 4\sqrt{x+3}$) vérifions domaine :** - Sous la racine $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$. Donc domaine $D_g = [-3, +\infty[$.\ - La fonction est composée d'une fonction polynomial et d'une racine carrée, continue sur $D_g$, donc $g$ est continue sur $[-3, +\infty[$.\ - Dérivée à droite en $a = -3$ : $$g'(x) = 1 - 4 \times \frac{1}{2 \sqrt{x+3}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x+3}}.$$\ En $x= -3$, $g'_{+}(-3) = 1 - \frac{2}{0^{+}} = -\infty$, donc pente infinie négative, la tangente verticale à droite. - Tableau de variation sur $[-3, +\infty[$ dépend du signe de $g'(x)$. - h est la restriction de g à $[1, +\infty[$. - h admet une réciproque car $g$ (donc $h$) est strictement croissante sur cet intervalle (car $g'$ positive pour $x >$ certains valeurs). - Calcul de $h(6)$ : $h(6) = 6 + 2 - 4 \sqrt{6+3} = 8 - 4\sqrt{9} = 8 - 12 = -4.$\ - Dérivabilité de $h^{-1}$ en $-4$ suivra de la règle de dérivation des inverses.\ - É’équations à venir à traiter plus avant selon la demande.\ 5. **Exercice 4:**\ 1) Ordonner : - $a = (\sqrt[4]{8})^2 = (8^{1/4})^2 = 8^{1/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$, - $b = \sqrt{81} = 9$, - $c = \sqrt[3]{2} \approx 1.26$. Ordre croissant : $$c < a < b.$$\ 2) Résolution des équations : - $x^7 - 5 =0 \Rightarrow x = \sqrt[7]{5}$. - $x^6 = -2$ pas de solution réelles car puissance paire positive. - $\sqrt[5]{2x -3} < 2 \Rightarrow 2x-3 < 2^5 = 32 \Rightarrow x < \frac{35}{2} = 17.5.$ - $\sqrt[3]{3x -1} = 2 \Rightarrow 3x -1 = 8 \Rightarrow x=3.$