1. Énonçons le problème : Trouver la limite lorsque $x \to +\infty$ de la fonction $f(x) = \sqrt{x - 1} - 1$.\n\n2. Examinons la fonction : quand $x$ devient très grand, la racine $\sqrt{x - 1}$ est proche de $\sqrt{x}$ car $-1$ est négligeable devant $x$. Donc $f(x)$ ressemble à $\sqrt{x} - 1$.\n\n3. La limite en soi de $\sqrt{x}$ quand $x \to +\infty$ est $+\infty$. Donc $f(x) \to +\infty$.\n\n4. Cependant, pour une limite plus précise en terme d'expression, on peut écrire :\n$$f(x) = \sqrt{x - 1} - 1 = \dfrac{(\sqrt{x - 1} - 1)(\sqrt{x - 1} + 1)}{\sqrt{x - 1} + 1} = \dfrac{x - 1 - 1}{\sqrt{x - 1} + 1} = \dfrac{x - 2}{\sqrt{x - 1} + 1}.$$\n\n5. Pour $x \to +\infty$, la fonction est équivalente à \n$$f(x) \approx \dfrac{x}{\sqrt{x} } = \sqrt{x}.$$\n\nAinsi, la limite est $+\infty$.