1. Énonçons le problème : on cherche la fonction réciproque de la fonction $$f(x) = 2\sqrt{7\sqrt{x^2 + 6}}$$. 2. Soit $$y = f(x) = 2\sqrt{7\sqrt{x^2 + 6}}$$. 3. Écrivons cette relation de façon à isoler $$x$$ : $$y = 2\sqrt{7\sqrt{x^2 + 6}}$$ Divisons par 2 : $$\frac{y}{2} = \sqrt{7\sqrt{x^2 + 6}}$$ 4. Élevons au carré des deux côtés pour se débarrasser de la racine extérieure : $$\left(\frac{y}{2}\right)^2 = 7\sqrt{x^2 + 6}$$ $$\frac{y^2}{4} = 7\sqrt{x^2 + 6}$$ 5. Divisons par 7 pour isoler la racine intérieure : $$\frac{y^2}{28} = \sqrt{x^2 + 6}$$ 6. Élevons au carré à nouveau pour enlever la racine : $$\left(\frac{y^2}{28}\right)^2 = x^2 + 6$$ $$\frac{y^4}{784} = x^2 + 6$$ 7. Isolons $$x^2$$ : $$x^2 = \frac{y^4}{784} - 6$$ 8. Enfin, exprimons $$x$$ : $$x = \pm \sqrt{\frac{y^4}{784} - 6}$$ 9. La fonction réciproque $$f^{-1}(x)$$ s'écrit donc : $$f^{-1}(x) = \pm \sqrt{\frac{x^4}{784} - 6}$$ 10. Remarque : le choix de la branche positive ou négative dépend du domaine initial de $$f$$. Ici, comme $$f(x)$$ dépend de $$x^2$$, la fonction $$f$$ est paire et la réciproque ne sera pas une fonction sans restriction supplémentaire. Réponse finale : $$f^{-1}(x) = \pm \sqrt{\frac{x^4}{784} - 6}$$