1. Le problème est de trouver le développement limité en 0 à l'ordre 3 de la fonction $f(x) = \cos x \cdot e^x$.\n\n2. Rappel des développements limités en 0 jusqu'à l'ordre 3:\n- $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)$\n- $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$\n\n3. Multiplions les deux développements limités en négligeant les termes d'ordre supérieur à 3:\n$$\begin{aligned} f(x) &= \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) + o(x^3) \\ &= \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) - \frac{x^2}{2} \left(1 + x + \frac{x^2}{2}\right) + o(x^3) \end{aligned}$$\n\n4. Calculons les produits:\n- $\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right)$ reste tel quel.\n- $- \frac{x^2}{2} \left(1 + x + \frac{x^2}{2}\right) = - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{4}$, on néglige $x^4$ et plus.\n\n5. Additionnons donc les termes d'ordre jusqu'à 3 :\n$$\begin{aligned} f(x) &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{2} + o(x^3) \\ &= 1 + x + \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2}\right) + \left(\frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{2}\right) + o(x^3) \\ &= 1 + x - \frac{x^3}{3} + o(x^3) \end{aligned}$$\n\n6. Conclusion : Le développement limité en 0 de $\cos x \cdot e^x$ à l'ordre 3 est $$1 + x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$.