1. Énonçons le problème : Calculer la limite de la fonction $$\lim_{x \to 1} \frac{1 + x - 1}{\sqrt{x^2 - 1}}$$ 2. Simplifions le numérateur : $$1 + x - 1 = x$$ 3. La limite devient donc : $$\lim_{x \to 1} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$$ 4. Calculons la limite pour $x \to 1$. Remarquons que $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. 5. Lorsque $x$ approche $1$ par valeurs supérieures, $x^2 - 1$ approche $0$ par valeurs supérieures (car pour $x > 1$, $x^2 -1 > 0$). 6. La racine carrée $\sqrt{x^2 -1}$ approche $0^+$. 7. Le numérateur $x$ approche $1$. 8. Donc la fraction s'écrit comme $\frac{1}{0^+}$, qui tend vers $+\infty$. 9. Pour $x$ approchant $1$ par valeurs inférieures ($x < 1$), $x^2 -1 < 0$ et la racine carrée devient imaginaire, donc la limite n'existe pas dans $\mathbb{R}$ par la gauche. 10. Conclusion : - La limite par la droite est $+\infty$. - La limite par la gauche n'existe pas dans $\mathbb{R}$. - La limite générale en $x \to 1$ n'existe pas en tant que réel. Réponse finale : $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = +\infty, \quad \lim_{x \to 1^-} \text{n'existe pas dans } \mathbb{R}, \quad \lim_{x \to 1} \text{n'existe pas}$$