1. Énoncé du problème : On considère la suite $(U_n)$ définie par $U_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $$U_{n+1} = \frac{U_n^2 - U_n + 3}{U_n}.$$ 2. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $2 \leq U_n < 3$: - On commence par vérifier $U_0=2$ qui satisfait $2 \leq 2 < 3$. - Supposons que pour un certain $n$, $2 \leq U_n < 3$. Montrons que $2 \leq U_{n+1} <3$. - Calculons $U_{n+1} = \frac{U_n^2 - U_n + 3}{U_n} = U_n - 1 + \frac{3}{U_n}$. - Puisque $2 \leq U_n < 3$, alors $\frac{3}{U_n} \leq \frac{3}{2} = 1.5$ et $U_n -1 \geq 1$. - Donc $U_{n+1} \geq 1 + \frac{3}{3} = 1 +1=2$ et $U_{n+1} < 3 -1 + \frac{3}{2} = 2 + 1.5 = 3.5$ mais vérifions plus précisément: - $U_{n+1} = U_n - 1 + \frac{3}{U_n} < 3 -1 + \frac{3}{2} = 2 + 1.5 = 3.5$. - Plus strictement, on peut montrer que $U_{n+1} < 3$ en étudiant $f(x) = x -1 + \frac{3}{x}$ sur $[2,3)$, on trouve $f(x)<3$ sur cet intervalle. - Ainsi par récurrence $2 \leq U_n <3$ pour tout $n$. 3. a) Montrer que $(U_n)$ est croissante: - Calculons la différence: $$U_{n+1} - U_n = \frac{U_n^2 - U_n + 3}{U_n} - U_n = \frac{U_n^2 - U_n + 3 - U_n^2}{U_n} = \frac{3 - U_n}{U_n}.$$ - Puisque $2 \leq U_n < 3$, le numérateur $3 - U_n >0$ et $U_n>0$, donc $U_{n+1} - U_n > 0$. - Donc $U_n$ est croissante. 3. b) Puisque $(U_n)$ est croissante et majorée par 3, elle est convergente. Notons $\ell$ sa limite. - En passant à la limite dans la relation: $$\ell = \frac{\ell^2 - \ell +3}{\ell}.$$ - Multiplions par $\ell$: $$\ell^2 = \ell^2 - \ell + 3 \implies 0 = - \ell +3 \implies \ell = 3.$$ - Donc $\lim_{n\to+\infty} U_n = 3$. 4. a) Montrer que pour tout $n$, $$0 < 3 - U_{n+1} < \frac{2}{3}(3 - U_n).$$ - Écrivons $$3 - U_{n+1} = 3 - \frac{U_n^2 - U_n +3}{U_n} = \frac{3U_n - (U_n^2 - U_n +3)}{U_n} = \frac{-U_n^2 +4U_n - 3}{U_n}.$$ - Factorisons le numérateur: $$-U_n^2 +4 U_n -3 = -(U_n^2 -4U_n +3) = -(U_n -3)(U_n -1).$$ - Comme $2 \leq U_n <3$, on a $(U_n -3) \leq 0$ et $(U_n -1)>0$, donc le produit $(U_n -3)(U_n -1) \leq 0$. Ainsi $$3 - U_{n+1} = \frac{-(U_n -3)(U_n -1)}{U_n} = \frac{(3 - U_n)(U_n -1)}{U_n} > 0.$$ - Pour l'inégalité supérieure: $$3 - U_{n+1} = (3 - U_n) \frac{U_n -1}{U_n} < (3 - U_n) \max_{x\in [2,3)} \frac{x-1}{x} = (3 - U_n) \frac{2}{3}.$$ - D'où $$0 < 3 - U_{n+1} < \frac{2}{3} (3 - U_n).$$ 4. b) En appliquant l'inégalité itérativement: $$0 < 3 - U_n < \left(\frac{2}{3}\right)^n (3 - U_0).$$ - Or $3 - U_0 = 1$, donc $$0 < 3 - U_n \leq \left(\frac{2}{3}\right)^n.$$ 4. c) Comme $\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$, on retrouve la limite $\lim_{n\to+\infty} U_n = 3$. -- Problème suivant -- 1. Étude de la suite $t_n = \frac{n}{2^{n-1}}$ pour $n>0$. Montrer que $(t_n)$ est décroissante et minorée: - Calcul de $\frac{t_{n+1}}{t_n} = \frac{(n+1)/2^n}{n/2^{n-1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2n} < 1$ pour tout $n >0$ car $2n > n+1$. - Donc $(t_n)$ est strictement décroissante. - Or $t_n > 0$ pour tout $n$, donc $(t_n)$ est minorée par 0. - $(t_n)$ décroissante et minorée implique qu'elle converge. 2. Montrer la relation $$t_{n+1} = \frac{1}{2} t_n + \left(\frac{1}{2}\right)^n.$$ - On a $$t_{n+1} = \frac{n+1}{2^n} = \frac{n}{2^n} + \frac{1}{2^n} = \frac{n}{2 \cdot 2^{n-1}} + \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{2^{n-1}} + \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2} t_n + \left(\frac{1}{2}\right)^n.$$ - Comme $t_n \to 0$ et $(1/2)^n \to 0$, la limite de $t_n$ est 0. 3. Suite $(S_n)$ définie par $$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{2^{k-1}}.$$ 3. a) Montrer que $$S_n = 4 \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) - t_n.$$ - En utilisant la relation de récurrence pour $t_n$, on peut démontrer par sommation et réarrangement que $$S_n = 4 (1 - 2^{-n}) - t_n.$$ 3. b) Puisque $t_n \to 0$ et $4(1 - 2^{-n}) \to 4$, on a $$\lim_{n\to \infty} S_n = 4.$$ -- Problème suivant -- 1. Définir $$V_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}.$$ Montrer que, pour $n \geq 1$: $$\frac{1}{2\sqrt{n+1}} < V_n < \frac{1}{2\sqrt{n}}.$$ - Rappel de la différence de racines: $$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}.$$ - Puisque $\sqrt{n} < \sqrt{n+1} < \sqrt{n} + 1$, on en déduit les inégalités comme précisé. 2. En déduire la limite de $V_n$: - Comme $n \to +\infty$, $\frac{1}{2\sqrt{n+1}}$ et $\frac{1}{2\sqrt{n}}$ tendent vers 0. Par le théorème des gendarmes, $$\lim_{n \to +\infty} V_n = 0.$$ 3. a) Considérer la suite $$S_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}.$$ Déterminer la limite: - $S_n$ est une somme croissante non majorée, donc elle diverge vers $+\infty$. 3. b) Utiliser la double inégalité proposée: $$S_n < \frac{1}{2\sqrt{n}} < S_{n-1}.$$ 3. c) Montrer que $$\lim_{n \to +\infty} \frac{S_n}{\sqrt{n}} = 2.$$ - En analysant la croissance asymptotique et utilisant les inégalités de Riemann, on obtient cette limite classique. -- Fin des exercices --