1. Énoncé : On étudie la fonction $f_n$ définie sur $]0; +\infty[$ par $$f_n(x) = \frac{1}{x} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^n.$$ 2. Pour $n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}$, on veut déterminer les limites de $f_n$ en $0$ et en $+\infty$ selon la parité de $n$. 3. Limite en $0^+$ : $$ f_n(x) = \frac{1}{x} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^n = \frac{1}{x} \left(\frac{x+1}{x}\right)^n = \frac{1}{x} \frac{(x+1)^n}{x^n} = \frac{(x+1)^n}{x^{n+1}}. $$ Puisque $x \to 0^+$ implique $x \to 0$ et $x+1 \to 1$, donc $$f_n(x) \sim \frac{1}{x^{n+1}}.$$ Si $n+1$ est pair, $rac{1}{x^{n+1}} \to +\infty$ quand $x \to 0^+$. Si $n+1$ est impair, la puissance est impaire, donc $f_n(x) \to +\infty$ puisque la puissance de $x$ dans le dénominateur est positive. En fait $f_n(x) \to +\infty$ en $0^+$ pour tout $n$. 4. Limite en $+\infty$ : $$ f_n(x) = \frac{1}{x} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^n \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{1}{x} \cdot 1^n = 0. $$ 5. Interprétation graphique : $f_n(x)$ tend vers $+\infty$ près de $0$ et tend vers $0$ quand $x \to +\infty$. La courbe décroît donc vers $0$ en $+\infty$. 6. Dérivation : Montrons que $$ f_n'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^3} \left(\frac{\ln(x)}{x}\right)^{n-1} g_n(x), $$ avec $g_n$ appropriately defined. Cette expression est à démontrer (méthode par dérivation du produit et simplification en utilisant $f_n$ exprimée avec logarithmes). 7. Variation selon la parité de $n$ : - Si $n$ est pair, le signe de $f_n'(x)$ est déterminé par $1-\ln(x)$ et $g_n(x)$, ce qui permet de dresser le tableau de variation indiquant éventuellement un minimum ou maximum. - Si $n$ est impair, de même en tenant compte des signes. 8. Montrons que $$f_n(\alpha_n) = (-1)^n \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. $$ avec $\alpha_n$ racine correspondante, propriété à vérifier via substitution et exploitation de la définition de $f_n$. 9. Construction des courbes $(C_2)$ et $(C_3)$ où $\alpha_2 \approx \alpha_3 \approx 0.6$ : tracé graphique à partir des variations trouvées. 10. Partie 7 : Étude de $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par $$ f(x) = \begin{cases} (e^{-x^2} -1) \ln(x) & \text{si } x>0 \\ f(0)=0 & \text{si } x=0 \end{cases} $$ 11. Étude de fonctions auxiliaires $h(x) = \ln(x) + e^x + 1$ et $g(x) = x \ln(x) + e^x -1$ sur $]0,+\infty[$. 12. Montrer l'existence de $\alpha \in ]0;1[$ tel que $$\forall x \in ]0;\alpha], h(x)<0,\quad \forall x \in ]\alpha; +\infty[, h(x) > 0,\quad h(\alpha)=0.$$ 13. Calcul des limites de $g$ en $0$ et $+\infty$ : - $\lim_{x \to 0^+} g(x) = -1$. - $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. 14. Justifier que $g'(x) = h(x)$. 15. Étude des variations et tableau de $g$ avec minimum en $\alpha$. 16. Montrer que $g(x)=0$ admet une unique solution $\beta$ dans $]0,+\infty[$. 17. Justifier que $\beta \in ]0.3;0.4[$. 18. Montrer que $g(x)<0$ pour $x<\beta$ et $g(x)>0$ pour $x>\beta$. 19. Montrer par inégalités classiques que $e^x \geq 1+x$, puis $-1 \leq -e^{-x} \leq -1 + x$, enfin $1 - x \leq e^{-x} \leq 1 - x + \frac{x^2}{2}$. 20. Démontrer la continuité et la dérivabilité de $f$ en $0$. 21. Calcul des limites $$\lim_{x \to 0} f(x) = 0,$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = ?$$ 22. Interprétation graphique : $f$ tangente horizontale en $0$. 23. Montrer que $$f'(x) = -\frac{e^{-x^2}}{x} g(x)^2$$ 24. Étudier variations (monotonie) de $f$ sur $[0,+\infty[$. 25. Dresser le tableau de variations de $f$. 26. Trouver l'équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point d'abscisse 1. Calcul : $$f(1) = (e^{-1}-1) \ln(1) = 0, \quad f'(1) = -e^{-1} g(1)^2.$$ Or $g(1) = 1 \cdot \ln(1) + e^{1} -1 = e -1$. Donc $$f'(1) = -\frac{e^{-1}}{1} (e -1)^2 = -e^{-1} (e -1)^2.$$ Tangente : $$y = f(1) + f'(1)(x-1) = -e^{-1} (e -1)^2 (x-1).$$ 27. Tracer graphiquement $(C_f)$ et la tangente $(T)$ en repère orthonormé.