📘 analyse

1. **Énoncé du problème :** On étudie la fonction $f$ définie par $f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2 + 1}$.

1. **Énoncé du problème :** Calculer la limite $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt[3]{2x^3} + x - \sqrt[3]{x^3 + 2x}}{x}$$. 2. **Simplification et analyse :** Pour $x \to 0^+$, on utili

1. **Énoncé du problème** : Calculer l'intégrale double $$\iint_D \frac{xy}{(x^2 + y^2)^2} \, dx \, dy$$ où $$D = \{(x,y) : x^2 + y^2 \leq 1 \text{ et } x + y \geq 1\}$$. 2. **Desc

1. Énoncé du problème : Déterminer pour chaque ensemble A1 à A7 s'il s'agit d'un intervalle ou non. 2. Définition d'un intervalle : Un intervalle est un ensemble de nombres réels t

1. **Énoncé du problème :** Étudier les limites, la continuité, la dérivabilité, les variations, la fonction réciproque et la tangente de la fonction définie par $$f(x) = \begin{ca

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = \sqrt{x^2 - 2x} - x + 1.$$ 2. **Détermination du domaine de définition $D_f$ :**

1. Calculer $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 2}{x - 1}$. Factoriser le numérateur : $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.

1. Énonçons le problème : On a la fonction $f(x)$ telle que $$f(x)-(\alpha - x) = f(x) + x - \alpha = \frac{2e^x}{e^x + 1} - \alpha.$$

1. Calculer les limites suivantes : 1. $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 3}}{x + 1}$$

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $$f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 1} - x$$ et sa courbe représentative $(C)$. 2. **Limites et asymptotes :**

1. **Étudier les variations de la fonction** $g(x) = -\frac{1}{2} + \frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}$. Calculons la dérivée $g'(x)$ pour étudier les variations :

1. Énoncé du problème : Soit la fonction définie par $$f(x) = \begin{cases} -x - 1 + \sqrt{1 + x^2}, & x \geq 0 \\ x^3 + 3x^2 - 1, & x < 0 \end{cases}$$

1. **Énoncé du problème** : Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$ par $$f(x) = \frac{x^2 + 2x^2}{1 - x^2} = \frac{3x^2}{1 - x^2}$$ et la fonction $h$

1. **Énoncé du problème** : Étudier la dérivabilité et déterminer la dérivée des fonctions données. 2. **Fonction 1** : $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 1$

1. **Énoncé du problème :** Étudier la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{x^3 - 4}{x^2 + 1}$ et la fonction $g(x) = x^3 + 3x + 8$.

1. **Énoncé du problème** : Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]-\infty; -3]$ par $$f(x) = x + \sqrt{x^2 + 2x - 3}.$$ Nous allons étudier ses limites, sa dérivabilité, son compo

1. Calculer $\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{1 + \sqrt{4x - x^2}}$. Substituons $x=2$ directement : le numérateur est $2-2=0$ et le dénominateur est $1 + \sqrt{8 - 4} = 1 + \sqrt{4} =

1. Énonçons le problème : On a la fonction $$g(x) = \frac{k}{\sqrt[3]{x+1}} - 1$$ avec $$k \neq 0$$ et on sait que $$g(0) = 3$$. Il faut montrer que $$g$$ est dérivable en $$0$$. 2

1. Énonçons le problème : Montrer que la fonction $g$ définie par $$g(k) = \frac{k}{\sqrt[3]{k+1} - 1} \quad \text{pour } k \neq 0$$

1. Énonçons le problème : on a la fonction $$g(k) = \frac{k}{\sqrt[3]{k+1} - 1}$$ pour $$k \neq 0$$ et $$g(0) = 3$$. 2. Montrons que $$g$$ est dérivable en $$0$$. Pour cela, calcul

1. Énonçons le problème : Montrer que la fonction $$g(x) = \frac{k}{\sqrt[3]{n+1} - 1}$$ est dérivable en 0. 2. Remarquons que la fonction semble dépendre de la variable $n$, mais