📘 algèbre

1. Énoncé : Montrer que $Z(G) = \{ g \in G \mid gx = xg, \forall x \in G \}$ est un sous-groupe distingué de $G$ et que $Z(G)$ est abélien. Étapes :

Énoncé du problème: Soit $x,y$ des réels. On suppose que $|x+2y|>2\sqrt{3}$ ou $|x|>2$ et on doit montrer que $x^2+xy+y^2>3$.

1. Énoncé du problème : Trouver les valeurs de $a$ et $B$ telles que $a^2 + 2ab + B = 22$. 2. Analyse de l'expression : On remarque que $a^2 + 2ab + B$ ressemble à une expression q

1. Énonçons le problème : Trouver les valeurs de $a$ et $B$ dans une expression ou contexte donné. 2. Pour pouvoir résoudre ce type de problème, il faut plus d'informations, comme

1. Le problème est de trouver la racine carrée de deux, c'est-à-dire déterminer un nombre $x$ tel que $x^2 = 2$. 2. Pour résoudre cela, on identifie que $x = \sqrt{2}$ est la défin

1. Le problème porte sur les nombres complexes, qui sont des nombres de la forme $z = a + bi$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels et $i$ est l'unité imaginaire telle que $i^2 = -1

1. Le problème est de comprendre sous quelle loi un sous-groupe $G$ de $\mathbb{R}$ est défini. 2. Un groupe est un ensemble avec une loi de composition interne.

1. Le problème pose la question pourquoi l'ensemble $G$ ne peut pas être égal à $[1,+\infty[$. 2. Tout d'abord, il faut comprendre ce que représente $G$. S'il s'agit d'un groupe ou

1. Énonçons le problème : On considère \( G \) un sous-groupe de \( \mathbb{R} \) tel que \( A = \{x \in G : x > 0\} \). On nous donne que si \( a > 0 \), alors \( a \in G \) et qu

1. Énonçons le problème : Calculer le produit scalaire entre deux vecteurs $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$. 2. Le produit scalaire de deux vecteurs $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_

1. Énoncé du problème. Exercice 1 : $a,b,c$ sont trois réels avec $a/b = -1/2$ et $c/a = -4/3$. Calculer $b/c$.

1. Énonçons le problème : Nous avons une somme verticale entre sk2 et ia, avec la relation ia = k1k2. 2. Comprenons les termes : Ici, ia est défini comme le produit de k1 et k2, do

1. **Énoncé du problème**: On a $X = \sqrt{6} - 2\sqrt{5}$ et $Y = \sqrt{6} + 2\sqrt{5}$.

1. Énonçons le problème : On a l'équation $si2x = 3y$ et on veut trouver le rapport $x:y$. 2. Clarifions la notation $si2x$. Supposons qu'il s'agit d'une coquille pour $6x$ car "si

1. Pour chaque nombre, déterminer sa nature (rationnel, irrationnel, entier) en simplifiant. - $\frac{25}{\sqrt{100}} = \frac{25}{10} = 2.5$, un nombre rationnel.

1. Énonçons le problème : On doit simplifier l'expression $$\frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^3}{(c-a)(c-b)}$$ en détail. 2. Observons les dénominateurs : c

1. **Énoncé du problème** : Vérifier que 1 est racine de $P(X)=X^5 - 2X^4 + X^3 - X^2 + 2X - 1$ et déterminer son ordre de multiplicité. Calculons $P(1)$ :

1. **Énoncé du problème 1** : Décomposer en éléments simples dans \( \mathbb{R}(X) \) la fonction \( F(X) = \frac{1}{X^3 (X^2 - 1)(X^2 + 1)} \). 2. **Facteuriser les dénominateurs*

1. Énonçons le problème : Trouver les polynômes $P \in \mathbb{R}[X]$ vérifiant chacune des équations données dans l'exercice 3. 2. Résolvons la première équation : $$P - X P' = X.

1. Énonçons le problème : Simplifier l'expression $$\sqrt{64 - 49}$$. 2. Calculons d'abord la valeur sous la racine : $$64 - 49 = 15$$.

1. Énonçons le problème : Simplifier l'expression $$2\sqrt{275} + 2\sqrt{44} + \sqrt{891}$$ en forme la plus simple. 2. Décomposons chaque terme sous la racine en facteurs premiers