1. Le problème porte sur les nombres complexes, qui sont des nombres de la forme $z = a + bi$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels et $i$ est l'unité imaginaire telle que $i^2 = -1$. 2. Pour additionner deux nombres complexes $z_1 = a + bi$ et $z_2 = c + di$, on ajoute leurs parties réelles et séparément leurs parties imaginaires : $$z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$$ 3. Pour multiplier deux nombres complexes, on utilise la distributivité et la relation $i^2 = -1$ : $$z_1 z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$$ 4. La forme trigonométrique d'un nombre complexe $z$ est donnée par : $$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$$ avec $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ le module et $\theta = \arctan(\frac{b}{a})$ l'argument. 5. La conjugaison d'un nombre complexe $z = a + bi$ est $\overline{z} = a - bi$. Elle est utile pour diviser des complexes et pour trouver le module : $$z \overline{z} = a^2 + b^2 = r^2$$ Ainsi, les nombres complexes peuvent être manipulés en utilisant ces règles fondamentales, ce qui permet de résoudre des équations, de représenter des points dans le plan complexe, et d'analyser des phénomènes en mathématiques et physique.