Énoncé du problème: Soit $x,y$ des réels. On suppose que $|x+2y|>2\sqrt{3}$ ou $|x|>2$ et on doit montrer que $x^2+xy+y^2>3$. 1. Cas 1: supposons $|x+2y|>2\sqrt{3}$. 2. On remarque l'identité suivante et on calcule: $$4(x^2+xy+y^2)-(x+2y)^2=3x^2\ge 0$$ 3. De l'identité précédente on tire que $4(x^2+xy+y^2)\ge (x+2y)^2$ et donc $$x^2+xy+y^2\ge \frac{1}{4}(x+2y)^2$$ 4. Si $|x+2y|>2\sqrt{3}$ alors $(x+2y)^2>12$ et donc $$x^2+xy+y^2>\frac{1}{4}\cdot 12=3$$ 5. Cas 2: supposons $|x|>2$. 6. Pour un $x$ fixé, la quantité $x^2+xy+y^2$ est minimale en dérivant par rapport à $y$ et en annulant: $\frac{d}{dy}(x^2+xy+y^2)=x+2y=0$. 7. Ainsi la valeur minimale s'obtient pour $y=-\frac{x}{2}$ et vaut: $$x^2+x\left(-\frac{x}{2}\right)+\left(-\frac{x}{2}\right)^2=\frac{3}{4}x^2$$ 8. Donc pour tout $y$ on a $x^2+xy+y^2\ge \frac{3}{4}x^2$. 9. Si $|x|>2$ alors $x^2>4$ et donc $x^2+xy+y^2>\frac{3}{4}\cdot 4=3$. 10. Conclusion: Dans les deux cas donnés on obtient $x^2+xy+y^2>3$. Réponse finale: $x^2+xy+y^2>3$.